Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán

+ Cách tính tổng trong dãy số cách đều.
+ Cách tìm số các số trong dãy số cách đều.
- Dãy số chẵn, lẻ, dãy số cách đều:
5432 = 5000 + 400 + 30 + 2
- Quan hệ giữa các hàng, phân tích số theo hàng:
- Số liền trước, liền sau
- 2 số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị.
- 0 là số tự nhiên bé nhất, không có số lớn nhất.
- Phân biệt "Số" và "Chữ số"
* Những nội dung cần ghi nhớ:
I. Các bài toán về số và chữ số
Ví dụ: Cho 4 chữ số 0, 2, 7 và 8. Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số đã cho?
Cách 1: Chọn số 2 làm số hàng nghìn, ta có các số:
7 - 8: 2078
0
8 - 7: 2087
0 - 8: 2708
2 7
8 - 0: 2780
0 - 7: 2707
8
7 - 0: 2870
Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy: Từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 2 thoả mãn điều kiện bài ra.
Chữ số 0 không thể chọn hàng nghìn, vậy số các số thoả mãn đề ra là: 6 x 3 = 18 (số)
Cách 2: Lần lượt chọn các chữ số như sau:
Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (trừ chữ số 0)
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn)
Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn, hàng trăm)
1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn, trăm, chục
Vậy số các số viết được là: 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số)
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số.
Loại 1: Viết thêm một chữ số vào bên phải, bên trái ,hai bên hoặc xen giữa một số TN
VD1: Tìm một số có hai chữ số biết rằng khi viết thêm vào trước số đó một chữ số 2 ta được một số mới gấp 6 lần số phải tìm.
VD2: Tìm số có ba chữ số biết rằng khi viết vào sau số đó một chữ số 8 ta được một số có 4 chữ số hơn số phải tìm là 1115 đơn vị.
VD3:Cho số có hai chữ số. Nếu ta viết thêm chữ số 1 vào bên phải và bên trái số đó thì số đó tăng lên 21 lần.Hãy tìm hai số đó?
VD4: Tìm số có hai chữ số biết rằng nếu viết xen số 0 vào giữa hai chữ số của nó thì được một số mới bằng 7 lần số phải tìm.
Loại 2: Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên.
VD: Cho số có 4 chữ số. Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó.
Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó.
VD: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó.
VD: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1.
Loại 5: Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó.
VD: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Cách giải: 5 bước
- Đặt tên số phải tìm
- Thiết lập mối quan hệ giữa số mới và số cũ phải tìm.
- Phân tích cấu tạo số để làm xuất hiện thừa số chung
- Khử các thừa số chung
- Tìm số phải tìm dựa vào các dữ kiện còn lại.
Dạng 3: Những bài toán về xét các chữ số tận cùng của số.
*Một số điểm cần lưu ý:
- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
- Tổng 1 + 2 + 3 +...+ 9 có chữ số tận cùng bằng 5
- Tích 1.3.5.7.9 có chữ số tận cùng bằng 5.
- Tích a . a không thể có tận cùng bằng 2, 3, 7, hoặc 8.
*. Các bài toán về dãy số.
Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số.
Cách giải: Trước hết cần xác định quy luật của dãy số.

Quy luật thường gặp:
- Mỗi số hạng (Từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (trừ) với một số tự nhiện d;
- Mỗi số hạng (Từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (chia) với một số tự nhiện q khác 0;
- Mỗi số hạng (từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
- Mỗi số hạng (từ số hạng thứ tư) bằng tổng số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
- Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;


Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy
Cách giải: Nếu số hạng của dãy số cách đều thì tổng của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy bằng nhau.

Tổng của dãy = tổng của 1 cặp hai số hạng (số hạng đầu và cuối ) x số các số hạng của dãy : 2

VD: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.
Giải: Dãy 100 số lẻ đầu tiên là: 1, 3, 5, 7, ..., 199. Ta có tổng số phải tìm là:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199
Ta có: 1 + 199 = 200
3 + 197 = 200
5 + 195 = 200
...
Vậy tổng phải tìm là:
200 x 100 : 2 = 100000


VD:1. Tìm X
a, 8,75 x X + 1,25 x X = 26,3
b, 17,5 x X - 7,5 x X = 34,8
..
2. Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a,1 - 4 + 7 -10 + 13 -16 + 19 - 22 + 25 - 28 +31
b, 1995 x 1997 -1
1996 x 1995 + 1995

* Các phép tính trên phân số:
- Tính chất giao hoán, tính chất kết hợp ...
* So sánh phân số:
- Quy đồng mẫu, tử số; so sánh với 1.
- Tìm phần bù (đến 1): Hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn là phân số bé hơn và ngược lại.
- Dùng phân số nghịch đảo: Hai phân số, phân số nào có nghịch đảo lớn hơn là phân số bé hơn và ngược lại.
- Tìm phân số trung gian; đổi ra hỗn số.

III.Các bài toán có phương pháp giải điển hình
Loại toán này có rất nhiều dạng như: Tìm số TBC,Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng,Tìm hai số khi biết tổng ( hiệu) và tỉ số của chúng, toán về đại lượng, toán trồng cây, các bài toán về phân số, ...
Khi dạy các loại toán này GV nên sắp xếp theo dạng, sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó kết hợp các dạng toán với nhau.
VD: *Một dạng toán điển hình về phân số: Tìm tỷ số của hai số ( dạng qui đồng tử số)
Bài 1: 3/4 số cam thì bằng thì bằng 2/5 số quýt. Tìm tỷ số giữa số cam và số quýt?



Giải
Qui đồng tử số: 3/4 =6/8; 2/5 = 6/15
Vậy 6/8 số cam = 6/15 số quýt hay 1/8 số cam bằng 1/15 số quýt.
Nếu coi số cam là 8 phần bằng nhau thì số quýt là 15 phần như thế.
Vậy tỷ số giữa số cam và số quýt là 8/15
Bài 2:An và Bình có 56 000 đồng, trong đó 1/2 số tiền của An bằng 2/3 số tiền của Bình. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền?
Giải
Qui đồng tử số: 1/2 = 2/4
Vậy 2/4 số tiền của An bằng 2/3 số tiền của Bình hay 1/4 số tiền của An bằng 1/3 số tiền của Bình.
Coi số tiền của An là 4 phần bằng nhau thì số tiền của Bình là 3 phần như thế.
Vậy tỷ số giữa số tiền của An và số tiền của Bình là 4/3


Ta có sơ đồ:

An:
Bình:

Số tiền của An là:
56 000 : ( 4 + 3 ) x 4 = 32 000 ( đồng)
Số tiền của Bình là:
56 000 - 32 000 = 24 000 ( đồng)
Đáp số: An : 32 000 đồng
Bình: 24 000 đồng
Bài 3: Hai tấm vải xanh và đỏ dài tất cả 68m. Nếu cắt bớt 3/7 tấm vải xanh và 3/5 tấm vải đỏ thì phần còn lại của hai tấm vải bằng nhau. Tính độ dài mỗi tấm vải?

? đồng
? đồng
56 000 đồng
Giải
Phân số chỉ số vải xanh còn lại là:
3 4
1 - = ( tấm vải xanh)
7 7
Phân số chỉ số vải đỏ còn lại là:
3 2
1 - = ( tấm vải đỏ)
5 5
Theo bài ra: 4/7 tấm vải xanh bằng 2/5 tấm vải đỏ.
Quy đồng tử số: 2/5 = 4/10
Vậy 4/7 tấm vải xanh bằng 4/10 tấm vải đỏ hay 1/7 tấm vải xanh bằng 1/10 tấm vải đỏ.
Lúc đầu Nam và Hải mỗi bạn có:
3 2 2
- ( : 2) = ( Số bi của Bắc)
5 5 5
Phân số ứng với 5 viên bi là:
2 1
1 - ( x 2 ) = ( Số bi của Bắc)
5 5
Số bi của Bắc là: 1
5 : = 25 ( viên)
5
Nam và Hải mỗi bạn có: ( 25 -5) : 2 = 10 ( viên)

IV. Hình học
1. Các bài toán về đếm hoặc tính số hình
VD: Trong hình bên có bao nhiêu hình tam giác ?
Giải:

O
Kể từ trái sang phải
ta thấy:
Có 5 tam giác nhận OA
là cạnh.



Có 4 hình tam giác nhận OB là cạnh
Có 3 hình tam giác nhận OC là cạnh
Có 2 hình tam giác nhận OD là cạnh
Có 1 hình tam giác nhận OE là cạnh
Vậy có tất cả : 5 + 4 + 3 + 2 +1= 15 ( tam giác)


1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
G
C2: Có 5 tam giác nhỏ là các tam giác 1,2,3,4,5
Có 4 tam giác mà mỗi tam giác được gép bởi 2 tam giác nhỏ là các tam giác( 1,2);(2,3); (3,4); (4;5).
Có 3 tam giác mà mỗi tam giác được ghép bởi 3 tam giác nhỏ( 1,2,3); ( 2,3,4); (3,4,5)
Có 2 tam giác mà mỗi tam giác được ghép bởi 5 tam giác nhỏ ( 1,2,3,4); ( 2,3,4,5)
Có 1 tam giác được ghép bởi 5 tam giác là tam giác AOG.
Vậy có tất cả: 5 + 4+ 3 + 2 + 1 = 15 ( tam giác)

2. Các bài toán về cắt ghép và xếp hình
VD: Hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông ABC lần lượt là 3cm và 4cm, hãy tìm cạnh còn lại?
C1. Ghép 4 tam giác vuông ABC thành một hình vuông lớn ( như hình vẽ)
B
C
A
3 cm
4 cm
Ta thấy diện tích hình vuông lớn bằng 4 lần diện tích hình tam giác ABC cộng với hình vuông nhỏ (ở giữa)
4 lần diện tích tam giác ABC là:
4 x 3
x 4 = 24 ( cm2)
2
Cạnh hình vuông nhỏ là: 4 - 3 = 1 ( cm)
Diện tích hình vuông nhỏ là: 1 x 1 = 1 ( cm2 )
Diện tích hình vuông lớn là: 24 + 1 = 25 ( cm2)
Vì 25 = 5 x 5 nên cạnh BC của hình vuông lớn bằng 5cm. Vậy cạnh BC của tam giác vuông bằng 5cm.

C2. Ghép 4 tam giác ABC thành hình vuông có cạnh là 3 + 4 = 7 cm ( như hình vẽ)











Hình vuông này gồm 4 tam giác ABC và 1 hình vuông BCDE.
Diện tích hình vuông nhỏ là:
D
C
B
E
A
3 cm
3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
3 cm
4 x 3
7 x 7 - 4 x = 25 ( cm2)
2
Vậy cạnh hình vuông nhỏ ( cạnh BC của tam giác) bằng 5 cm.
3. Các bài toán về vẽ hình
VD. Hãy vẽ: a, Một tam giác có diện tích 7,5 m2
b, Một hình thang có diện tích có diện tích 17cm2.
Giải
a, Ta có:
15 5 x 3
7,5 = =
2 2
Ta vẽ một hình chữ nhật ABCD có chiều dài 5cm, chiều rộng 3cm.
Diện tích hình chữ nhật là:
5 x 3 = 15 ( cm2)
Nối BD ta được tam giác ABD có diện tích bằng một nửa diện tích hình chữ nhật ABCD và bằng:
15 : 2 = 7,5 ( cm2 )
( Vẽ hình)

( 10 + 7) x 2
b, Ta có: 17 =
2
Vậy chỉ cần vẽ hình thang có đáy lớn 10cm, đáy bé 7cm và chiều cao 2cm.
( còn có thể vẽ theo các khác)
4. Các bài toán về chu vi, diện tích.
Đối với loại toán này có các nhiều dạng: Toán về chu vi, Toán về diện tích, Toán phối hợp giữa chu vi và diện tích,...
Sau mỗi dạng bài Gv chốt cho HS những điểm cần nhứ cho HS.
VD.
Bài 1:Một hình chữ nhật có chu vi 60m. Nếu bớt chiều dài đi
1/4 của nó thì chu vi hình chữ nhật mới là 46m. Tìm kích thước hình chữ nhật ban đầu?

Sau khi giải xong bài này, GV lưu ý cho HS: Phần chu vi bị giảm chính là 2 lần phần bị bớt đi.
Bài2: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 2400m2.Người ta bớt 8m của chiều rộng để xây nhà nên diện tích bị giảm đi 480m2.Tính kích thước ban đầu của mảnh đất?
GV chốt cho HS: Khi bớt chiều rộng thì diện tích giảm theo chiều dài và ngược lại. Sau đó đưa ra 1 bài tập khi bớt chiều dài để HS tự làm.