Một số Đề HSG Toán 7

ĐỀ SỐ 1
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:
a)
b) 27 < 3n < 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:


Bài 3.
a) Tìm x biết: |2x + 3| – x – 2 = 0
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x – 2006| + |2007 – x| khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.

ĐỀ SỐ 2

Bài 1 (3đ):
a) Tính: P =

b) Biết: 13 + 23 +.......+ 103 = 580.
Tính: S = 23 + 43 + 63 +....+ 203
c) Cho: A =

Tính giá trị của A biết x = 1/2 và y là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường?
Bài 4 (2đ):
Cho ΔABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ΔABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ΔABE = ΔADC
b) góc BMC = 120°
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
a) ΔABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó.
b) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB.

ĐỀ SỐ 3

Bài 1 (4đ):
Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x³ + x² – 2x + 2
B(x) = x5 – 2x4 + x² – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x³ + 3x² – 8x + 6
a) Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
b) Tính giá trị của M(x) khi x =

c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không?
Bài 2 (4đ):
a) Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
b) Tìm x biết: |2x – 3| – x = |2 – x|
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
a) P =
có giá trị lớn nhất
b) Q =
có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh BD = CE.
b) Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ΔABC cân tại A, góc BAC = 100°. D là điểm thuộc miền trong của ΔABC sao cho góc DBC = 10°, góc DCB = 20°. Tính góc ADB.

ĐỀ SỐ 4

Bài 1 (3đ): Tính:
a)

b) (6³ + 3.6² + 3³) : 13
c)

Bài 2 (3đ):
a) Cho
và (a + b + c) ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
b) Chứng minh rằng từ hệ thức
ta có hệ thức:

Bài 3 (4đ):
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ