Một số bài toán cụ­c trin hình học

Một số bài toán cực trị hình học

Bài 1: Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong góc đó. Dựng đường thẳng qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất.(Hình vuông EFGH nội tiếp trong hình vuông ABCD nếu 4 đỉnh của hình vuông EFGH nằm trên 4 cạnh của hình vuông ABCD).
Bài 3: Cho tam giác ABC. Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía đối với d. Tìm điểm M thuộc d sao cho tổng MA+MB có độ dài ngắn nhất.
Bài 5: Cho góc xOy nhọn và một điểm M nằm trong góc đó. Tìm trên Ox điểm A, trên Oy điểm B sao cho chu vi tam giác MAB bé nhất.
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Hãy tìm trên BC,CA,AB các điểm M,N,P sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có đường chéo bằng 1. Lấy các điểm M,N,P,Q theo thứ tự trên AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng: MN+NP+PQ+QM
2
Bài 8: Cho tam giác ABC, O là giao 3 đường trung trực của tam giác. Hãy tìm trên mặt phẳng điểm M sao cho tổng MA+MB+MC+MO nhỏ nhất.
Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ P đến 3 cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10: Chứng minh trong các tam giác ABC có góc A không đổi, nếu tổng hai cạnh bên AB+AC không đổi thì tam giác cân tại A có chu vi nhỏ nhất.
Bài 11: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC có các cạnh a,b,c. Gọi các khoảng cách từ điểm M đến các cạnh a,b,c tương ứng là x,y,z. Xác định vị trí điểm M trong tam giác sao cho biểu thức: P=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho tam giác đều ABC. Từ điểm M trên cạnh AB kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh AC và BC, cắt các cạnh BC và AC tương ứng ở D và E. Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
Bài 13: Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B ở miền trong góc đó. Tìm các điểm C,D lần lượt trên Ox, Oy sao cho đường gấp khúc ACDB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 14: Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh của tam giác ABC tại A’,B’,C’. Xác định vị trí của M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15: Cho tam giác DEF vuông cân tại D. Tìm điểm M trên cạnh EF sao cho tổng ME2+MF2 đạt giá trị nhỏ nhất.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------