Một số bài toán bất đằng thức sử dụng phương pháp làm trội

[Bồi dưỡng HSG Toán 7+ đến 9] Phương pháp làm trội Bài 1. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng
.
Bài 2. Cho các số dương a, b. Chứng minh rằng
.
Bài 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
.
Bài 4. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng

Bài 5. Chứng minh bất đẳng thức
.
Từ đó tổng quát hóa bài toán lên.
Bài 6. Chứng minh rằng
.
Từ đó tổng quát hóa bài toán lên.
Bài 7. Chứng minh rằng
.
Bài 8. Chứng minh rằng với mộ số dương n > 2 ta có
.
Bài 9. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng
.
Bài 10. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
.
Bài 11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
.
Bài 12. Cho n là số nguyên dương lớn 2. Chứng minh rằng
.
Bài 13. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chứng minh rằng
.
Bài 14. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì
.
Bài 15. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chứng minh rằng
.

Hướng dẫn
Bài 1.

Bài 2.
.
Bài 3. C1: Dựa vào x, y, z > 0, ta có:
. Áp dụng ta được:
.
C2:
và giả sử a < b < c, cần chứng minh
.
.
Bài 4.
.
Bài 5.
.
Bài 6. Ta có:
. Chú ý không dùng đến
.