Mở rộng về phép tính lũy thừa

Mở rộng về phép tính lũy thừa
Giới thiệu : Với HS lớp 6 - 7 phép tính lũy thừa trong pham vi số nguyên dương đã được làm quen. Song, với HSG cần biết thêm những khái niệm mở rộng và các kiến thức, khái niệm liên quan để giải những bài toán khó về lũy thừa
I.- Kháo niệm
Trong toán học, lũy thừa là một phép toán thực hiện trên hai số a, b, ký hiệu là ab, đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.
Trong trường hợp n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:


Khi đó phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa (từ Hán-Việt) có nghĩa là "nhân chồng chất lên".
Đặc biệt: a² còn gọi là "a bình phương"; a³ còn gọi là "a lập phương".
II.- Lũy thừa với số mũ nguyên
2.1 Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương
Các tinh chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là



với mọi a ≠0




Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán (chẳng hạn, 2+3 = 5 = 3+2 và 2·3 = 6 = 3·2), phép tính lũy thừa không có tính giao hoán: 23 = 8, nhưng 32 = 9.
Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp (chẳng hạn, (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) và (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4), còn phép tính lũy thừa thì không: 23 lũy thừa 4 là 84 hay 4096, nhưng 2 nâng lũy thừa 34 là 281 hay 2.417.851.639.229.258.349.412.352. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:


2.2 Lũy thừa với số mũ không
Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1. Khi đó ta có

==> a0 = 1

2.3 Lũy thừa với số mũ nguyên âm
Để mở rộng khái niệm lũy thừa cho các số mũ nghuyên âm, ta định nghĩa, lũy thừa của số khác không a với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó:


còn lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m =-n trong đó a khác không và n là số nguyên dương là

.

Ví dụ

.
2.4 Lũy thừa của không và một
Với mọi số nguyên dương m

.

.
III.-Lũy thừa của số thực dương với số mũ thực
3.1 Căn bậc n của một số thực dương
Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xn = a.
Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương, x không âm thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a. Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là n√a, trong đó √  là ký hiệu căn.
3.2 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n ( m , n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là



định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
IV. Lũy thừa với số mũ thực
4,1 Lũy thừa của số e
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:


Hàm e mũ, được định nghĩa bởi


ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa



Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:




Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ex+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
4.2 Lũy thừa với số mũ thực
Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn


trong đó r tiến