Ks HSG Toán 7 năm 2008-2009

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN : TOÁN 7
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1.
a. Chứng minh rằng:


b. Cho A = 1. 3. 5. ....2009. Chứng minh rằng ba số : 2A - 1 ; 2A ; 2A + 1 đều không phải là số chính phương.

Câu 2.
Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x
0 và thỏa mãn:
f (1)= 1;
f (
) =
. f(x) với mọi x
0;
f (x1+x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1, x2
0 và x1 + x2
0
Chứng minh rằng :

Câu 3.
a. Cho . Chứng minh rằng:

( abc
0 và các mẫu số khác không)
b. Tìm một số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1:2:3.

Câu 4. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
Câu 5. Cho tam giác ABC, I là giao điểm các tia phân giác góc B và góc C, M là trung điểm của BC. Biết góc BIM = 90 0 và BI = 2 IM.
Tính góc BAC;
Vẽ IH
AC. Chứng minh rằng BA = 3 IH.


ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm !





HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN : TOÁN 7

A. Hướng dẫn chung
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt lời giải theo một cách, nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, các giám khảo thống nhất biểu điểm của hướng dẫn để cho điểm.
- Với những ý đáp án cho từ 0,5 điểm trở lên, nếu cần thiết các giám khảo có thể thống nhất để chia nhỏ từng thang điểm.
- Thí sinh làm đúng đến đâu, các giám khảo vận dụng cho điểm đến đó.
- Điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.
B. Đáp án và biểu điểm.
Bài
Hướng dẫn giải
Thang điểm

1 a

Đặt
Xét
tương tự ta cũng có
Tính VT của BDT, ta có: Ta có:
Phần lớn hơn, làm tương tự. Xét


0.5




0.5


0.5

0.5

1b
Ta có 2A chia hết cho 2 nhưng 2A không chia hết cho 4 nên 2A không là số chính phương.
2A - 1 = ( 2A - 3) + 2
2A - 1 chia cho 3 dư 2
2A - 1 không là số chính phương.
Giả sử 2A + 1 = k2 , k là số nguyên lẻ
2A = k2 - 1 = (k - 1)(k + 1)
4
(Vì k - 1 và k + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên (k - 1)(k + 1) chia hết cho 4) Vô lý.
Vậy 2A + 1 không là số chính phương.
Vậy 3 số 2A - 1, 2A, 2A + 1 không là số chính phương.

0.5

0.5



1

2
Theo a); c) :
f(2) = f(1+1)= f(1)+f(1) = 2
f(3) = f(2+1)= f(2)+f(1) = 2+1 = 3
f(5) = f(3+2)= f(3)+f(2) = 3+2 = 5
f(7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = 7
Theo b) và cách phân tích f(7) ta có :
f(
) =
f(7) =
.7 =

Từ đó áp dụng c) ta được:
f(
) = f(
) = f