Ks HSG Toán 7 năm 2007-2008

PHÒNG GD&ĐT
----o0o----
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2007-2008
Môn: Toán 7.
(Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề)


Bài 1 : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 … a) Tính tổng 2009 số hạng đầu của dãy b) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho?.
Bài 2 :
Cho
. Chứng minh rằng :
.
b) Tìm các số nguyên a và b thoả mãn :
(2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105.
Bài 3:
a. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn:

.
Tìm tỉ lệ các đường cao tương ứng của tam giác.
b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm: A(-1;2) ; B(4;1); C(-3;-1). Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 4 :
Cho tam giác ABC có AB > AC và góc A có số đo bằng á . đường thẳng đi qua A vuông góc với phân giác trong của góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM = BA + AC. Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC ?
Bài 5:
Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và các đường cao tương ứng là ha; hb; hc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
. Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?
----------------------------------------------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.












HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu số
Nội dung
Điểm

1-a(0,5đ)
Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: 1 -7+13 -19+25-31+37 …
=1+(-7+13)+(-19+25)+(-31+37)=1+(-7+13)-…-
(1004 cặp)
=1+6*1004
=6025


(0,25đ)

(0,25đ)

1-b(1 đ)
Số hạng thứ nhất: a1=1
Số hạng thứ hai: a2=-7=-(6+1)=(-1)1. (6+1)
Số hạng thứ ba: a3=13= 2.6+1=(-1)2.( 2.6+1)
Số hạng thứ tư: a4=-19=-(3.6+1)= (-1)3.( 3.6+1)
Số hạng thứ năm: a5=25=4.6+1= (-1)4.( 4.6+1)
………
Số hạng tổng quát là: an=(-1)n-1[(n-1).6+1].

0,25đ

0,25đ


0,5đ

2-a(0,5 đ)

(1)
Mặt khác:

. (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.


0,25đ


0,25đ


2-b(1,5 đ)
Và 105 là số lẻ nên (2a + 5b + 1) và (2|a| +a2 + a + b) là số lẻ. Do (2a + 5b + 1) lẻ suy ra b chẵn.
Mà a2+a=a(a+1) chẵn nên 2|a| lẻ. Suy ra a=0.
Với a=0. Ta có: (5b+1)(b+1)=105=21.5=(-21).(-5)
Do (5b+1; 5)= 1 nên

.
Thử lại
thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ

3-a(1,5 đ)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:


chỉ ra:

.
Gọi ba đường cao của tam giác lần lượt là ha; hb; hc. Có:
a.ha=b.hb=c.hc(=2.SABC).



0,25đ

0,5đ


0,25đ

0,25đ
0,25đ

3-b(1 đ)


Vẽ hình chính xác:
Dựng hình chữ nhật PQRC. Tính được:SPQRC, SPAC,
Tính được:SQAB, SRBC.
Từ đó tính được: SABC= SPQRC-(SPAC+ SQAB+SRBC)=
(đvdt)