Kiểm tra 15'

CHUYÊN ĐỀ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
 
A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:
* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
2. Tính chất:
* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q.
* Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p.
* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p .
3. Cách nhận biết một số nguyên tố:
A) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn.
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố.
- Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số dư thì số đó là số nguyên tố.
B) Một số có 2 ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
- Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.        

5. Số nguyên tố cùng nhau:
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
          Hai số a và b nguyên tố cùng nhau 
 ƯCLN(a, b) = 1.
          Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau 
 ƯCLN(a, b, c) = 1.
          Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau 
 ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1.
 
             Số nguyên tố được được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước công nguyên nhưng cho đến nay nhiều bài tóan về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn
B/ Các dạng bài tập về số nguyên tố:
1/ Chứng minh một biểu thức luôn là số nguyên tố:
Bài tập 1:Cho số tự nhiên n > 2. CMR:các số n!–1 có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn n.
          Giải : Gọi a = n! – 1 . Do n  > 2 nêm a>1.Mội số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tố .Gọi p là ước nguyên tố của a.Tia sẽ chứng minh rằng p >n.
Thật vậy giả sử p < n thì tích 1.2.3...n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a chia hết cho p nên 1 chia hết chi p, vô lí .
Bài tập 2:Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho n2= x2+p trong đó p là số nguyên tố và x là số tự nhiên.
              Giải:   Lấy n=3k+2 (k tự nhiên). Từ dẳng thức n2 =x2+p
            Suy ra p =n2 –x2 =(n-x)(n+x)
            Vì p nguyên tố và n>x nên n-x=1 và n+x=p .
            Từ đó p=2n-1 =3(2k+1), điều không thể xảy ra.
             Vậy số có dạng 3k+2 (có vô số như thế ) không thể biểu diễn dưới dạng x2 +p
Bài tập 3:CMR khi chia một số nguyên tố cho 30 thi số dư cũng là số nguyên tố.
Chỉ dẫn :- Chứng minh rằng số dư này không chia hết cho 2, 3, 5 .
2/ Với một số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó: 
Bài tập 4 Chứng minh rằng nếu số 2n+1 là số nguyên tố thì n=2m.
            Giải: Giả sử n=2m.thế thì nó có thể viết dưới dạng n=tk,trong đó k là số lẻ nào đó n>1.suy ra:
             2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+…-2t+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vì 2n+1 theo đề bài là số nguyên tố.
3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức là số nguyên tố:
Bài tập 5:Tìm số tự nhiên p sao cho p và p+3 đều là số nguyên tố.
          Giải:   Một số tự