HSG TOAN 9 CO DA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
-----------------------------------------------
Câu 1: (3 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
A =

Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =


Câu 3: (4 điểm)
Cho hệ phương trình

a. Giải hệ khi a =3
b. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.
Câu 4: (4 điểm)
Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
Câu 5: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm M trên đường chéo BD chiếu lên AB và AD tại E và F.
a. Chứng tỏ: CF = DE và CF
DE
Tìm quỹ tích giao điểm N của CF và DE
b. Chứng tỏ: CM = EF và CM
EF
c. Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BF và DE đồng quy tại một điểm.

= = = = = = ( ( = = = = = =















ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu 1:
A =
=
0,5 điểm
=
=
1,0 điểm
=
=
(vì
) 1,0 điểm
=
0,5 điểm
Câu 2:
P =

=
0,5 điểm
=
(vì
) 1,0 điểm
Dấu “=” xảy ra 1,0 điểm
Vậy = 4
0,5 điểm
Câu 3:
a. Khi a =3 ta có hệ
<=>
0,5 điểm

<=>
<=>
<=>
0,5 điểm

Vậy khi a = 3 hệ phương trình có nghiệm (2;-3) 0,5 điểm
b. Xét hệ
(I), ta có (I) <=>
0,5 điểm
<=>
0,5 điểm

Muốn (I) có nghiệm duy nhất thì
0,5 điểm

Muốn (I) vô nghiệm thì:


0,5 điểm




0,5 điểm
Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

Điều kiện để hệ vô nghiệm là:

Câu 4:
Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) (x, y >0), thì chiều dài quãng đường AB là xy (km) 0,5 điểm
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì:
Vận tốc của xe lúc này là: y + 10 (km/h)
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: x – 3 (giờ)
Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1) 0,5 điểm
Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì:
Vận tốc của xe lúc này là: y – 10 (km/h)
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: x + 5 (giờ)
Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2) 0,5 điểm
từ (1) và (2) ta có hệ:
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

Giải hệ phương trình ta được: x = 15; y = 40. 0,5 điểm
Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ, vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h. Quãng đường AB có độ dài là: 15 . 40 = 600 (km) 0,5 điểm


Câu 5:
Vẽ hình


a. Chứng minh
và

ta có
0,5 điểm
Ta cũng có