HSG Toan 7 huong khuê 11-12 khong co mat khau

phòng giáo dục đào tạo
hơng khê

kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2011 - 2012
Môn toán LớP 7
Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)



Bài 1:
Tìm x, biết
;
Tính giá trị của biểu thức sau:
với


Bài 2:
Tìm chữ số tận cùng của A biết A = 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n
Tìm các giá trị nguyên của x để
nhận giá trị nguyên.

Bài 3: Cho đa thức f(x) xác định với mọi x thỏa mãn:
x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x).
Tính f(5).
Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:
a) FB = EC
b) EF = 2AM
c) AM ( EF.

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:














HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN TOÁN LỚP 7
Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012

Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm

1(6đ)
Ta có

4.0đ


Từ câu 1) Với x = 5/3 thay vào A ta được A = 14/27
Với x = 1/3 thay vào A ta được A = -2/9

2.0đ

2
(3đ)
Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0
1.5đ


Ta có:



1.5đ

3(4đ)
Ta có với x = 3 ( f(5) = 0
x = 0 ( f(0) = 0 ( x = 0 là một nghiệm
x = 3 ( f(5) = 0 ( x = 5 là một nghiệm
x = -3 ( f(-1) = 0 ( x = -1 là một nghiệm
Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm.

2.0đ

2.0đ

4 (6đ)




Chứng minh

Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho AK = 2AM. Ta có (ABM = (KCM ( CK//AB


(EAF và (KCA có AE = AB = CK;
AF = AC (gt);

((EAF = (KCA (cgc) (EF = AK = 2AM.
c) Từ (EAF = (KCA

3.0đ

1.5đ




1.5đ

5(1đ)
Không mất tính tổng quát, giả sử a ( b ( c ( d. Áp dụng BĐT
, dấu bằng xảy ra ( ab ≥ 0 ta có:

(1)

(2)
Suy ra A ≥ c + d – a – b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra ( (x – a)(d – x) ≥ 0 và (x – b)(c – x) ≥ 0 ( a ( x ( d và b ( x ( c. Do đó minA = c + d –a – b ( b ( x ( c.



1.0đ



Ghi chú: Các cách giải khác đầy đủ và chính xác vẫn cho điểm tối đa.