HSG TOÁN 7

Toán 7 :
Kỳ thi chọn HSG - năm học : 2016-2017
Thời gian : 120 phút .

Đề số 1 :

Câu 1(4 điểm):
a) Tính:


b) Chứng minh:



Câu 2 ( 5 điểm):
Tìm số tự nhiên x, y biết:

Tìm x, y, z biết:



Câu 3 ( 4 điểm): Cho đa thức : P(x) =

Tìm x để P(x) = 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P(x).

Câu 4 ( 7 điểm): Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE.
Chứng minh CD = BE và CD vuông góc với BE.
Kẻ đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC tại H.
Chứng minh : Đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE.
Lấy điểm K nằm trong tam giác ABD sao cho góc ABK bằng 300, BA = BK.
Chứng minh: AK = KD.

-------- Hết --------













Đáp án

CÂU
 NỘI DUNG
ĐIỂM

1

4,0

a(2,0)



Vì 2,4 .42 – 21 .4,8 = 0
Nên A = 0





1,0
1,0

b(2,0)




0,5

0,5


0,5

0,5

2

5,0

a(3,0)



1,0

1,0
1,0


b(2,0)


( Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Suy ra:




0,75

0,75




0,5

3

4,0

a(2,0)
P(x) =
= 6 (1)
*) Với x
3: 2x- 6
0; 2x -2 > 0
(1)
2x – 6 + 2x - 2 = 6
x =
( TM)
*) Với 1
x < 3: 2x – 6 < 0; 2x+2
0
(1)
-2x + 6 + 2x - 2 = 6
4 = 6( KTM)
*) Với x < 1: 2x – 6 < 0; 2x+2 <0
(1)
-2x + 6 - 2x + 2 = 6
x =
( TM)
Vậy , x =
hoặc x =



0,25

0,5

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

b(2,0)
P(x) =

Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi ( 6 – 2x)(2x+2)
0


Vậy GTNN của P(x) là 8 khi


0,5
0,5


0,5


0,5

4(7,0)
Vẽ hình đúng


0,5

a(3,0)

vì có: AD =AB(gt);
;
AC = AE (gt)
Suy ra DC = BE ( 2 cạnh tương ứng);
( 2 góc tương ứng)
Gọi I là giao điểm của DC và AB.
Ta có:
( đ đ);
( c/m trên)
Mà
suy ra

Suy ra DC vuông góc với BE.

1,0

0,5


0,5
0,5
0,5

b(2,0)
Kẻ DM và EN lần lượt vuông góc với đường thẳng AH tại M và N.
Gọi F là giao điểm của DE và đường thẳng AH.
Ta c/m được
(cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AH = DM

( cạnh huyền – góc nhọn) suy ra AH = EN
Từ đó ta c/m được
( g.c.g)
Suy ra DF = DE
Hay đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE.



0,5
0,5
0,5
0,5


c(1,5)



Vẽ tam giác đều BPD sao cho P và A nằm cùng phía đối với BD


Ta có:
suy ra

Suy ra
suy ra