Hàm số

Hàm số
/
Mỗi số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y qua hàm f
Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợpbất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều là tập hợp số.
Ví dụ một hàm số f xác định trên tập hợp số thực R được miêu tả bằng biểu thức: y =x2 - 5 sẽ cho tương ứng mỗi số thực x với một số thực y duy nhất nhận giá trị là x2 - 5, như vậy 3 sẽ tương ứng với 4. Khi hàm f đã được xác định, ta có thể viết f(3) = 4.
Đôi khi chữ hàm được dùng như cách gọi tắt thay cho hàm số. Tuy nhiên trong các trường hợp sử dụng khác, hàm mang ý nghĩa tổng quát của ánh xạ, như trong lý thuyết hàm. Các hàm hay ánh xạ tổng quát có thể là liên hệ giữa các tập hợp không phải là tập số. Ví dụ có thể định nghĩa một hàm là quy tắc cho tương ứng mỗi hãng xe với tên quốc gia xuất xứ của nó, chẳng hạn có thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật.
Khái niệm
Định nghĩa
Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.
Ký hiệu
/ hoặc / hoặc /
Với:
Tập X gọi là miền xác định.
Tập Y gọi là miền giá trị.
x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.
f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.
Cách cho hàm số
Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng biểu thức.
Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.
Hàm / được cho bảng sau:
x
1
2
3
4
5

y
5
5
6
7
8

Các hàm cho bằng biểu thức như /, /, /...
Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng:
Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.
Ví dụ: Hàm số / có miền xác định là /
Hàm số / là /
Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của /, nghĩa là /.
Ví dụ: Miền giá trị của hàm số / là /.
Nếu X,Y / thì hàm số được gọi là hàm số thực.
Ví dụ: Hàm lượng giác /,hàm mũ /,...
Nếu X,Y / thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức.
Ví dụ: Hàm dao động /;
Nếu X / thì hàm số được gọi là hàm số số học.
Ví dụ: Hàm Euler / biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma / biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...
Các dạng của hàm số
Đơn ánh, song ánh, toàn ánh
Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.
Đơn ánh
Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.
Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi x1 vàx2 thuộc X và nếu x1 ≠ x2 thì f(x1) ≠ f(x2).
Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:
/
Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm
Toàn ánh