Hai góc bằng nhau

Bài 1: Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường tròn đường kính AD. Tiếp tuyến tại D của đường tròn nhỏ cắt nửa đường tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đường tròn lớn cắt nhau tại B. Nối P bất kì trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đường tròn nhỏ tại K. Chứng minh rằng AP là phân giác của góc BAK.
Bài làm.
GT: DA = DM
CD
AD taị D
BA
AD tại A
CB
CD tại C
P thuộc cung AC
KL: AD là phân giác của



1.Phân tích lời giải
Cách 1:
Muốn chứng minh AP là phân giác của góc BAK ta chứng minh

- Muốn chứng minh

ta chứng minh cung AP bằng cung PQ
- Muốn chứng minh cung AP bằng cung PQ ta chứng minh DP
AQ tại K
+ DP
AQ tại K vì
chắn nửa đường tròn đường kính AD.
Lời giải: (tóm tắt)

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD)
Vậy DP
AQ tại K nên cung AP bằng cung PQ
Cách 2:
Muốn chứng minh AP là phân giác của góc BAK ta chứng minh

Muốn chứng minh
, ta tạo ra 2 tam giác có hai góc này. Từ P hạ đường
PN
AB và đi chứng minh cho tam giác vuông NAP bằng tam giác vuông KAP.
Muốn chứng minh
NAP =
KPA, ta chứng minh chẳng hạn
, và có AP là cạnh huyền.
Muốn chứng minh
ta chứng minh, chẳng hạn
và

*
( vì PN // DA – 2 góc so le trong)

( vì 2 góc đáy của tam giác cân ADP)
Lời giải (tóm tắt)
DA = DP (cùng bán kính) =>
ADP cân =>
mà
(PN // DA – góc so le trong)
Vậy
.

PAN =
PKA vì có AP là cạnh huyền chung và

Cách 3:
Ta đi chứng minh cho 2 góc NAP và KAP cùng bằng 2 góc bằng nhau.
Nối A với P cắt đường tròn đường kính AD tại T. Nối D với T ta phát hiện ra :
. Vì ADP là tam giác cân ở D mà DT vuông góc với đáy AP. Đồng thời ta lại có
=
.
Ta chỉ cần chứng minh

=
=> đpcm.
Lời giải (tóm tắt)

ADP cân ở D mà
=>

Mà
=
(chắn cung TK)

=
(2 góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Vậy
. Bài toán đã được chứng minh
Cách 4:
Ta tìm cách chứng minh góc NAP và KAP cùng bằng một góc nào đó, chẳng hạn cùng bằng góc
.
Trên hình vẽ ta thấy ngay
=
( cùng chắn cung TK)
Góc NAP là góc giữa tiếp tuyến và một dây, góc NAP. Chắn cung AP, mà cung AP có góc tương ứng ở tâm là
, Ta lại có
. Từ đó so sánh được
với góc
=> đpcm.
Lời giải (tóm tắt)

=
(chắn cung TK)

=
( góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm tương ứng).
Vậy
=> AP là phân giác của góc NAK.
Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông góc ở A có AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O vẽ đường cao AH và bán kính OA.Chứng minh rằng
.
Bài làm.
GT:

KL:


Phân tích, tìm lời giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để chứng minh cho

Ta dễ thấy

( vì OA = OB cùng bán kính)
+ Muốn chứng minh
. Ta phải chứng minh được
.
+ Muốn chứng minh
ta phải chứng minh
.
Ta có
(vì 2 góc cùng phụ với
)=> đpcm.
2.Lời giải (tóm tắt)

(vì 2 góc cùng phụ với
).
Ta có

. Nhưng
và
, nên
=>đpcm
Bài 3: Cho tam giác ABC với A < 900 có AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Vẽ đường cao AH và bán kính OA.Chứng minh rằng

1.Phân tích ,tìm lời giải
GT:

KL:





Cách 1: theo giả thiết ta có
, ta tạo ra trên hình vẽ
bằng cách lấy B làm đỉnh và BC làm cạnh, vẽ góc
bằng góc
.Ta chỉ cần chứng minh
.
Ta có nhận xét thêm:
Tia Bx cắt (O) tại E.
AH kéo dài cắt (O) tại D
Ba điểm E,O,D thẳng hàng vì

(ở vị trí so