Giaie toán số chính phương

Giải toán về số chính phương

I.- Nhắc lại kiến thức về số chính phương
1/- Khai niệm :
Số chính phương P là bình phương (lũy thừa bậc 2)
của một số nguyên n khác.
Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số nguyên kia.
Số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn;
Số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)
2/ Vài tính chất của số chính phương
Số chính phương không bao giờ tận cùng là 2, 3, 7, 8.
Khi phân tích 1 số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
Số chính phương chia cho 4 không bao giờ có số dư là 2. [*]
Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0; 1; 4 [**]
Những điều trên được sử dụng nhiều trong việc giải các bài tập.
II.- Bài toán ứng dụng số chính phương
Đề 1 :
Tìm các số có 2 chữ số sao cho tổng của số đó với số được viết bởi 2 chữ số nhưng theo thứ tự ngược lại (cũng là số có 2 chữ số) là 1 số chính phương


Giải :

Gọi a b là số cần tìm ; trong đó a & b là 2 số TN ≤ 9
Theo đầu bài thì : (10a+b) là số thứ nhât;  (10b+a) là số thứ hai.
Ta có: (10a+b) + (10b+a) = (a+b)*11. Vì 11 là số nguyên tố, nên để có  (a+b)*11 là số chính phương thì phải có (a+b) = 11.
Vậy có các cặp số thỏa mãn điều kiện đề ra lần lượt là: 29 & 92; 38 & 83;  47 & 74 ; 56 & 65; 65 & 56; 74 & 47; 83 & 38; 92 & 29,
Đáp số : 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92

Đề 2 :
Tim số tự nhiên n > 0 sao cho tổng 1!+2!+3!+......+n! la một số chinh phuong
Giải :
Đặt Sn = 1! + 2! + ... + n! - Với n ≤ 3 ta có 2 đáp án thỏa mãn: n = 1 (Sn=1) và n = 3 (Sn=9) - Với n ≥ 4: Ta sẽ chứng minh không có đáp án nào thỏa mãn. nếu n = 4 ta có: S4 = 33 chia cho 5 dư 3 [**]
Các số giai thừa n! với n ≥ 5 luôn tận cùng bằng số 0,( vì luôn có 5 nhân với ít nhât 1 số chẵn) => Sn tận cùng bằng 3
Ví dụ n = 5 ta có: S5 = 120 + 33 chia cho 5 dư 3 [**]
Tổng Sn trên rõ ràng chia cho 5 dư 3.
. Vậy với n ≥ 4 không có đáp án nào thỏa mãn. Đáp án cuối cùng: n = 1 và n = 3.

Đề 3:
Chứng minh rằng a(a-2005) chia hết cho 12 với a là số chính phương
Giải
Đặt a = x2, P=a(a-2005) Nếu x lẻ => x có dạng 2k+1 => x2 có dạng 4k2+4k+1 => x2 chia 4 dư 1 => a-2005 chia hết cho 4 => P chia hết cho 4. Nếu x chẵn => x có dạng 2k => x2 có dạng 4k2 => a chia hết cho 4 => P chia hết cho 4. => P chia hết cho 4. (1) Nếu x chia hết 3 => a chia hết cho 3 => P chia hết cho 3. Nếu x chia 3 dư 1 => x có dạng 3k+1 => x2 có dạng 9k2+6k+1 => a chia 3 dư 1 => a-2005 chia hết cho 3 => P chia hết cho 3. Nếu x chia 3 dư 2 => x có dạng 3k-1 => x2 có dạng 9k2-6k+1 => a chia 3 dư 1 => a-2005 chia hết cho 3 => P chia hết cho 3. => P chia hết cho 3. (2) Từ (1) và (2), và 3,4 nguyên tố cùng nhau => P chia hết cho 12. (ĐPCM)