Giải Toán dãy số dạng 1

Giải toán dãy số (Dạng 1 )
Tìm tổng các số hạng của dãy số cách đều

I.- Áp dụng công thức tính tổng của dãy “Cấp số cộng”
Giải sử có dãy số a1, a2 a3, ........an là dãy cách đều nhau (công bội = k ) thì





Bài 1 : a/ Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.
b/ Tính tổng của n số lẻ đầu tiên
c/ Tính tổng của n số chẵn đầu tiên

Giải :
a/ Tổng của 100 số lẻ đầu tiên là :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 197 + 199 = 100 X (1 +199) : 2 = 10000
Đáp số 10 000.
b/ Đặt số lẻ thứ n là ( 2n - 1) =>Tổng của n số lẻ đầu tiên là

( *)

c/ Đặt số chẵn thứ n là ( 2n ) =>Tổng của n số chẵn đầu tiên là


( **)

Công thức (*) và (**) nên nhớ áp dụng khi số hạng đầu tiên là 1 với số lẻ và 2 với số chẵn

Bài 2 : Tìm X biết :
(X + 1) + (X + 4) + (X +7) +(X + 10) + . . . + (X + 28) = 155
Giải :
*Cách thứ nhất
Tổng (X + 1) + ( X + 4) + ( X + 7) + ... +(X + 28) = 155
Ta nhận thấy 2 số hạng liên tiếphơn kém nhau 3 đơn vị nên tổng được viết đầy đủ sẽ có 10 số hạng
(28 – 1) : 3 + 1 = 10)
(X + 1 + X + 28) x 10 : 2 = 155
(X x 2 + 29) x 10 = 155 x 2 = 310
X x 2 + 29 = 310 : 10 = 31
X x 2 = 31 – 29 = 2
X = 2 : 2 ==> X = 1
*Cách thứ hai
Tổng (X + 1) + ( X + 4) + ( X + 7) + ... +(X + 28)= (1+4+7+...+28)+n.X mà
n = (28 – 1) : 3 + 1 = 10
(1+4+7+...+28) = (28+1).10 : 2 = 145
Vậy 10.X + 145 = 155 => 10X = 10 => X = 1 (ĐS)

II.-Áp dụng tính chất : các số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của 2 số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy đó bằng nhau.

Bài 3 : Cho 1 số N gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 . . . 1980 1981 1982 1983
Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó.
(Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1983)

Giải :
Nhận thấy các cặp số :
- 0 và 1999 có tổng các chữ số là :
0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28
- 1 và 1998 có tổng các chữ số là :
1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28
- 2 và 1997 có tổng các chữ số là :
2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28
- 998 và 1001 có tổng các chữ số là :
9 + 9 + 8 + 1 + 1 = 28
- 999 và 1000 có tổng các chữ số là :
9 + 9 + 9 + 1 = 28
Như vậy trong dãy số
M ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 1997, 1998, 1999)
Hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối đều có tổng bằng 28.
Có 1000 cặp như vậy, do đó tổng các chữ số tạo nên dãy số trên là :
28 x 1000 = 28 000



* Số tự nhiên P (1984 1985....1999) được tạo thành bằng cách viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1984 đến 1999 là
(1 + 9 + 8 + 4) + (1 + 9 + 8 + 5) +... +(1 + 9 + 8 + 9) + (1 + 9 + 9 + 0) + ... +
22 23 27 19
(1 + 9 + 9 + 8) + (1 + 9 + 9 + 9) = ( 22+23+...