Giải 7 bài toán so sánh khó

Giải 7 bài toán so sánh khó

I./ Giới thiệu:
Các bài toán so sánh 2 (hoặc nhiều) biểu thức (hoặc hình), ngay từ lớp 1 HS đã biêt <,> hoặc= nhau; các lớp cao hơn càng hay gặp. Đặc biệt trong các đề thi HSG lớp 6 ít nhiều đều có 1-2 câu so sánh.
Tài liệu này hệ thống lại cách giải những bài toán so sánh qua các thí dụ cụ thể sưu tầm từ các đề thi HSG lớp 6 những năm gần đây để GV/HS tham khảo

II./ Các phương pháp so sánh có thể ứng dụng

2.1/ So sánh trực tiếp:

Thí dụ 1: So sánh các lũy thừa đơn giản
Qui về hoặc cùng số mũ, hoặc cùng cơ số, dựa trên tính chất:
An > Bn ( A > B ; Am > An ( m > n
Đề 1 : So sánh 2300 và 3 200 * Giải: Biến đổi 2300 = (23 )100 và 3200 = (32)100
Dễ dàng thấy 23 < 32 Do đó 2300 < 3 200

Đề 2 : So sánh 222333 và 333222 ta biến đổi

222333 = [(111)3]111 = [(111)2 ]111
333222 = [32x(111)2]111
Thấy 23 x 111 > 3 2 ( 222333 > 333222

Đề 3: so sánh 92020 và 27 2010 Biến đổi
92020 = 910 x 92010 = (32)10 x 92010 = 320 x 92010
và 27 2010 =32010 x 92010
Kết luận 92020 < 27 2010

Thí dụ 2: So sánh phân số, với lớp 4 – 5 thì thường phải qui đồng mẫu số ( hoăc đưa về cung tử số) nhưng lớp trên sẽ găp các phân số phức tap hơn. Các trường hợp này nên dùng cách trừ hoặc chia 2 biểu thức cho nhau. Dưa trên tính chất:
A – B > 0 ( A > B và ngược lại ; A – B = 0 ( A = B
A/B > 1 ( A > B và ngược lại; A/B = 1 ( A = B (A,B khác 0 )

Đề 4: so sánh a a+n
2 phân số tổng quát b b+n ( với a,b,n là số nguyên dương)

* Giải: Trừ 2 phân số cho nhau ta có
- Tử số A = a.(b+n) – b.( a+n) = ab +an – ab – bn = n.(a – b )
- Mẫu số B = b.(b+n) = b2 + bn; Vì a,b,n nguyên dương nên B luôn >0. Chỉ cân xét tử số A:

Nếu a = b ( A = 0 ( hiệu số = 0 ( Kết luân 2 phân số bằng nhau
Nếu a > b ( A > 0 ( hiệu số > 0 ( Kết luân a/b > (a+n)/(b+n)
Nếu a < b ( A < 0 ( hiệu số < 0 ( Kết luân a/b < (a+n)/(b+n)
Lưu ý : Bài toán trên có thể coi (Các lớp dưới công nhận không chứng minh) như tính chất của phân số a/b, có a0 thì được phân số mới (a+n)/(b+n) > a/b. [1]

Đề 5: So sánh A = (1011 – 1)/ (1012 – 1 ) và B = (1010 +1)/(1011 +1)
* Giải: Áp dụng tính chất [1] ta thấy A có tử số < mẫu số ( công tử và mẫu của A với 11 ta được phân số mới B’= [(1011 – 1 )+11]/ [1012 – 1 )+11 ] > A
Biến đổi B’ = (1011 +10)/ (1012 +1) =(1010 +1)/(1011 +1) = B ( A < B

2/ So sánh qua một số/ biểu thức trung gian
Các tường hợp khó chia , khó trừ thì nên chọn một một số/ biểu thức trung gian

Thí du:

2001 20011
Đề 6: So sánh A = --------- ; B = ------------ (Không qui đồng mẫu số)
3011 30111
20010
Chọn C = ----------- => thấy C = A (Vì tử và mẫu của A cùng nhân 10 )
30110
2010 + 1
Biến đổi B = ------------- => thấy B > C (Phân số B có tử số < mẫu số và cùng +1
3011 + 1

Vây B > A (ĐS)

Đề 7: So sánh A và B với : 20102010 + 1 20102009 + 1
A =