Giải 15 bài tập về số chính phương

HD GIẢI 15 BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

* Giới thiệu: Các bài toán số học về “Số chính phương” tuy rất cũ, nhiều đề mới đọc tưởng đơn giản, nhưng bắt tay vào giải không phải dễ dàng nếu không rèn luyên qua các dạng bài khác nhau. Tài liệu này gới thiệu 15 bài toán hay để các bạn tham khảo và rèn luyện cách giải

I.- KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
(Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
(Tính chất
a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi
2; 3; 7; 8.
Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2,
Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó
là số lẻ.
d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .

(Từ tính chất này suy ra

-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
-Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
-Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
( Ngoài ra , nên nhớ lại các tính chất về số học của số tự nhiên, số lẻ/ số chẵn…

II.- BÀI TOÁN MẪU

( Bài toán 1. Chứng minh rằng :
a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2 họăc 4n +3 (n(N);
b) Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n(N).

( Giải
a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (k(N), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k(N) ,

Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1. Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(n(N)

b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k± 1 (k( N)
khi đó bình phương của nó có dạng (3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k± 1) 2 = 9k2 ± 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.
Như vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n(N) ĐPCM.

( Bài toán 2:
Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau , còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.
Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.

(Giải
Cách 1 .
Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục
của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 ( khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9 =25 =52 là số chính phương.
Cách 2.
Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a
2 nên a2
4.
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số M chỉ có thể là 16,36,56,76, 96. Từ đó ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52 là số chính phương. ĐPCM.

( Bài toán3:
Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính
phương

(Giải
n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ, nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.
Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị : 37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số trên chỉ