Giải 1 bài toán số học hóc búa

Giải một bài toán số học hóc búa

1.- Đề toán : Tìm số tự nhiên n có 5 con số a, b, c, d, e kể từ trái, tức là n = abcde, với những tính chất đặc biệt như sau:
- Con số a bằng số lần con số 0 có trong số n - Con số b bằng số lần con số 1có trong số n - Con số c bằng số lần con số 2 có trong số n - Con số d bằng số lần con số 3 có trong số n - Con số e bằng số lần con số 4 có trong số n
Số n có 5 con số và mỗi con số chỉ số lần mà 1 con số đặc biệt nào đó hiện diện trong số n . Thí dụ, số c có 1 trị số, trị số này bằng số lần mà con số 2 xuất hiện trong số n; Số lần xuất hiện nầy khộng thể quá 5, tức là: các con số a, b, c, d, e chỉ có thể thay đổi từ 0 đến 5 mà thôi.
0 ≤ a,b,c,d,e ≤ 5
2.- Bài toán hóc búa vì mỗi con số của n có 2 tính chất cùng một lúc: vừa có 1 trị số vừa xác định số lần của 1 con số đặc biệt nào đó hiện diện trong số n. Khi cho 1 con số của n lấy 1 trị số nào đó, thì trị số đó cũng làm thay đổi trị số của những con số khác. Thí dụ:
Nếu chỉ con số a của n bằng 2 thì c phải bằng 1, mà c = 1 thì con số b ít nhất cũng phải bằng 1.
Nếu vì n chỉ có c = 1 mà ta viết b = 1 thì cũng sai vì như thế thì n có 2 con số 1; Mà viết b = 2 thì phải tìm 1 con số khác chỉ xuất hiện có 1 lần.
Nếu d hay e bằng 1 thì 3 hay 4 phải hiện diện trong số n.
3.- Phân tich và giải
Vì a là con số đầu tiên nên phải khác 0, ( 1 ≤ a ≤ 5)
tức là a có thể có các trị số 5, 4, 3, 2 và 1. Xét các trường hợp đó.
a) a = 5 => n có 5 con số 0 mà ngoài a ra, n chỉ còn 4 con số b, c, d và e => Không nhận được
b) a = 4 => n có 4 con số 0 và e = 1 (thí dụ n chỉ có 1 con số 4, là a) => Chỉ còn 3 con số b, c và d là có thể bằng 0 => Không nhận được
c) a = 3 => n có 3 con số 0 và d = 1 (thí dụ n chỉ có có 1 con số 3, là a) => b > 1 (b không thể bằng 1 vì như vậy n có chứa 2 con số 1, là d và b) => Chi còn 2 con số c và e là có thể bằng 0 (thực ra c cũng không thể bằng 0 nếu tiếp tục lý luận xa hơn, thí dụ nếu b = 2 thì c = 1, vv …) => Không nhận được
d) a = 2 => n có 2 con số 0 và c = 1 (thí dụ n chỉ có 1 con số 2, là a) => b > 1 (b không thể bằng 1, vì như vậy n có 2 con số 1, là c và b) => Xét trường hợp b = 2 => c > 2 (c không thể bằng 2, vì như vậy N có 3 con số 2, là a, b và c) => Xét trượng hợp c = 3 => d = 1 ( vì n có chứa 1 con số 3, là c) => Chỉ còn 1 con số e là có thể bằng 0 (thực ra e cũng không thể bằng 0 nếu tiếp tục lý luận xa hơn) => Không nhận được
Xét trường hợp c = 2
a = 2 => n có 2 con số 0 và c = 2 (thí dụ n chỉ có 2 con số 2, là a và c) => Trong 3 con số b, d và e phải có 2 con số 0 và 1 con số khác 0. Hai con số d hay e, nếu có một khác 0, sẽ kéo theo sự thay đổi của các con số khác và n không thể có 2 con số 0. Chỉ có b = 1, d = 0 và e = 0 là nhận được => n = 21200 là một số nhận được
e) a = 1 => n có 1 con số 0 và b > 1 (b không thể bằng 1 vì n sẽ có 2 con số 1, là a và b) => Xét trường hợp b = 2 => c = 2 (vì N có 2 con số 2, là b và