Đề toán hay cho HSG lớp 6

Đề toán hay cho HSG lớp 6

I.- Giới thiệu:
Bước vào đầu năm, để ôn lại kiến thức số học ( phân số) và củng cố kiến thức bài lũy thừa, giới thiệu hai bài toán hay (kèm theo đáp án) góp phần rèn luyên HSG lớp 6

II.- Bài mẫu:
Đề1: cho A = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/15.
B = 9876/9873+9873/9874+9874/9875+9875/9876
a./ Chứng minh A < 4
b./ So sánh A và B ?

Giải 1:
Cách 1 (cho HS tiểu học)
*Phần a./ Có A= 1+  1/2 +  1/3+1/4+ ... +1/15.   = 1 + 1/2  + ( 1/3 +1/4 + 1/5) + ( 1/6+ 1/7+...+1/11) +  ( 1/12 +1/13 +1/14 +1/15)                    
 ---3 số hạng-----     -------6 số hạng------      ---------4 số hạng------------   < 1 + 1/2  + (1/3 +1/3 +1/3)  + (1/6 +1/6+...+1/6) + ( 1/12 +1/12+ 1/12+ 1/12)  =                                     
 ---3 số hạng-----     -------6 số hạng------      ---------4 số hạng------------
       = 1+ 1/2 +3/3 +6/6+4/12 = 1+ 1+1 +1/2+1/3 = 3+5/6 < 3 + 6/6 [*] Vậy A < 4  ( đpcm) *Phần b./ So sánh A và B.   A< 3+ 5/6 = 3, 833....( Mục đích C/m B > 3,83..)   B = 9876/9873+9873/9874+9874/9875+9875/9876       > 9873/9873  + 9873/9874  + 9873/9875   +9873/9876        = 9873*(  1/9873  + 1/9874  + 1/9875   + 1/9876  )        > 9873*( 1/9876  +1/9876  +1/9876   +1/9876)        =  9873*(4/9876) = 9873 * ( 1/2469)  = 9873/2469 = 3,9987..... [**]
Phần a [*] đã có A = 3+5/6 = 3,8333…..
 So sánh [*] với [**] ta kết luận B>A ( đpcm)

Cách 2 : (cho HS đã học Đẳng thức Cô-si )
Biết rằng theo BĐT Cô-si với 4 số hang của B >0 nên B=9876/9873+9873/9874+9874/9875+9875/9876 ≥ 4 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 9876/9873 = 9873/9874 = 9874/9875 = 9875/9876
 ( Điều này hiển nhiên vô lý ) suy ra dấu " = " không thể xảy ra ! VẬY : B > 4 mà : A < 4 ( chứng minh trên ) => A < B ( đpcm)

Đề 2: Cho S = 5 + 52 + 53 + ………+ 52009 + 52010
a, Tính S
b, Chứng minh S chia hết cho 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10

Giải 2

a/. Ta có 5S = 52 + 53 +54 +………52010 + 52011
( 5S –S = (52 + 53 +54 +………+52011) – (5 + 52 + 53 + ………+ 52010)
( 4S = 52011 – 5

Vậy S = (52010 – 1 ) . 5/4 (ĐA)

b/. S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) +……….. + (52006 + 52009) + (52007 + 52010)

Biến đổi được S =.(1+ 53 ).(5 + 52 + 53 +………+52006 + 52007)
Vì 1+ 53 = 126 mà 126 = 2. 32 .7 [***] ; và
(5 + 52 + 53 +………+52006 + 52007) = 5. ( 1 + 5 + 52 + 53 +………+52006 ) [****]
Từ [***] và [****] ( S = 2. 32 .7.5. ( 1 + 5 + 52 + 53 +………+52006 )
Vậy ( S
2; 3; 5; 6; 7; 9; 10 ( đpcm)

III .- Bài thực hành


Từ kết quả đề 2- phần a/ - hãy tìm công thức tổng quát cho mọi trường hợp có số mũ = 2n


S = 5 + 52 + 53 + ………+ 5(2n