Đè toán dãy phân số lũy thừa

Bài toán : Dãy phân số có lũy thừa
(Luyện HSG lớp 6)

I.- Giới thiệu
Dãy phân số mà các số hạng là số nghịch đảo của n (nghịch đảo của n là
) là dãy số hội tụ, HS chương trình THCS chưa học, nhưng có thể gặp trong một số bài toán, nếu không làm quen thì rất khó. Có khi mẫu số lại cho có lũy thừa thì càng “khó xử” hơn.
Tuy nhiên nếu biết vài thuật toán đơn giản thì có thể giải được.
Sau đây giới thiệu một vài bài dạng khó xử này

II.- Bài Mẫu
1/ loại bài so sánh kiểu “ Bắn tỉa”
*Đề1 : Chứng minh rằng :
+
+
+........+
< 1
* Giải:
Ta có
<
=
-


<
=
-

.................

<
=
-


Do đó
+
+.......+
< (
-
) + (
-
) + .......+ (
-
)
Mà (
-
) + (
-
) + .......+ (
-
) = 1 -
=
< 1
Vậy
+
+
+ ..........+
< 1 (ĐPCM)

* Nhận xét : Bài giải đã tách riêng từng số hạng kiểu “ Bắn tỉa” và dựa vào công thức

Tổng quát
(1(
Chuyển so sánh với dãy số quen thuộc mà tổng S = 1 -
.
Từ đó dễ dàng so sánh


*Đề2 : tương tự đề 1
Chứng minh :
< 1.
* Hướng Giải

Áp dụng công thức (1(




<


2 / loại bài so sánh kiểu “Nâng cấp”

*Đề 3 : Chứng minh rằng

* Giải :
Bước 1 Đặt A=
(1)
( 3A = 1-
(2); Cộng (1) và (2);
_______________________________________
4A = 1-
(3)
( 4A < 1-

vì vế trái của (3) bỏ đi số hạng cuối cùng

Bước 1 Đặt B = 1-

( 3B = 2+

_________________________________
4B = B + 3B= 3 -
< 3 ( B <
(4)
Từ (3) và (4) ( 4A < B <
( A <
(ĐPCM)

*Nhận xét :
Bài trên khá phức tạp, nhưng ta thấy các số hạng trong dãy có qui luật:
- Tử số lần lượt là các số TN liên tiếp 1 đến 100
- Mẫu số là 3 lần lượt nâng lũy thừa liên tiếp 1 đến 100
Qua 2 bước nhân A rồi nhân B “Nâng cấp” từ 1 lên3 rồi lên 4 mới qui ra được kết quả. Vì thế tạm gọi là so sánh nâng cấp để phân biệt với lọai “bắn tỉa”
3 / Loai đề khác Tham khảo thêm

* Đề Chứng tỏ rằng:
+
+
+ ..…+
+
.> .


* Giải : Ta thấy:
đến
có 40 phân số.
Vậy

=
+
…….+
(1)
Vì
…..>
và
>
>…>
(2)
Ta có
….+
+
+
+….+

=
(3)
Từ (1) , (2), (3) Suy ra:

>



-------------------------------------------------------------------------------------



Tham khảo từ Bộ đề luyện thi HSG lớp 6