DE THI VAO LOP 10 QUOC HOC HUE

Đề thi Quốc Học Huế
                                  Đề thi Quốc Học Huế
                                                         Môn Toán
                                                     Thời gian: 120 phút
 Bài 1: (3 điểm)
a)      Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :

.
b)     Giải hệ phương trình :  

Bài 2: (1,5 điểm)
   Cho phương trình: 
. 
Tìm giá trị 
 để  phương trình có bốn nghiệm 
 sao cho:

và 
.
Bài 3: (3 điểm)
         Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S).
a)      Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
b)     Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: 
.
c)     Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: 
.
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
(i)    Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng  p + q  lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó  p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.


Đoàn Quốc Việt @ 01:58 14/05/2009  Số lượt xem: 1002


Bài 1:
a)   b) Điều kiện 


 
Đặt  



Ta có hệ 

Giải ra : u  = 2 , v = 3  hoặc  u =3  , v = 2
Trường hợp u  = 2 , v = 3   có : ( x  = 1 ;  y =  9 ) hoặc ( x  = -3 ;  y = 9)
Trường hợp u  = 3 , v = 2   có : ( x  = 2 ;  y =  4 ) hoặc ( x  = -4 ;  y = 4)
Hệ đã cho có 4 nghiệm:  (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) .
Bài 2:


Đặt 

Ta có: 
 (2) (
)

 với mọi m.
Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt  
.  Tương đương với 
 (3). 
Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm đương  

và phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt:  Theo giả thiết:  (4)
Theo định lí Vi-ét, ta có: 
 và 
 (5)
  Từ (4) và (5) ta có: 
 và 



Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:

 và m = 5
Đoàn Quốc Việt @ 02h:38p 14/05/09


Em post cái hình lên 1 phát, ai có hứng thì giải:
                               

Đoàn Quốc Việt @ 02h:38p 14/05/09



 
Do đó :  
 (1)
+ Tương tự: 
 và 

Từ (1) và (2): 
,
Do đó 

+ Hai tam giác MEP và MAE có : 
  và 
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra: 

+ Tương tự ta cũng có: 

+ Do đó: 

+ Nhưng  

+ Từ đó: 
           Sáng tạo toán học
Phùng Mạnh Điềm @ 12h:40p 15/05/09


Bài 5: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là  cạnh  huyền.
Ta có 
; a, b, c 
, diện tích tam giác ABC là 

Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
 
+ Chứng minh  

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì 
 chia 3 dư 2.
 
Suy ra số chính phương 
 chia 3 dư 2, vô lý. 
 
+ Chứng minh  

- Nếu a, b chẵn thì 
.
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ,