đề thi và đáp án HSG toán 7 2015-2016

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)




Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: (AMC = (ABN.
b) Chứng minh: BN ( CM.
c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
Bài 5 (2,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a, b sao cho:










Họ và tên thí sinh: .......................................................................................................

Số báo danh: .................................................Phòng.....................................................

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
mÔN: TOÁN 7
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)



Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?

Câu
Nội dung
Điểm

a/
(1,5 đ)
Ta có: A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017
0,5


Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016)
0,5


A =
.
0,5

b/
(1,5 đ)
Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)
0,75


 = 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)
0,5


 Suy ra A có chữ số tận cùng là 0
0,25

c/
(1,0 đ)
Lập luận được A chia hết cho 3
0,25


Lập luận được A không chia hết cho 32
0,25


Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương
0,5

Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.

Câu
Nội dung
Điểm

a/
(2,0 đ)
Lập luận được
> 0.
0,5


Nên
(
= 3 (

0,75


( x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 ( x = 2 hoặc x = 0.
0,5


Vậy x = 2 ; x = 0
0,25

b/
(2,0 đ)
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là
thì ta có

và

0,5




(
(



0,75