Đề thi Ôlimpic HKII_ THCS Yên Lạc_VP

ường thcs yên lạc
==============
đề Thi olympic lầN II.
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi : Toán 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


Câu 1: Tìm các số x,
a/ (x – 1)3 = - 8 b/

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
Câu 3: Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức:


Câu 4: Cho hàm số f(x) xác định với mọi x ( 0
Và với mọi x ( 0 ta đều có f(x) + 3f(
) = x2. Hãy tính f(2)

Câu 5: Tìm số nguyên dương x thoả mãn:
+ + … =

Câu 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA.
a/ Chứng minh rằng: EK = FN.
b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tìm điều kiện của tam giác ABC để EF = 2AI.

Câu 7: Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số a, b, c, d. Hỏi S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu.

Câu 8: Cho tam giác nhọn ABC với
= 600. Chứng minh rằng
BC2 = AB2 + AC2 – AB. AC.

Câu 9: Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 3 và b + 2011 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.



-----------------------Hết-----------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ OLYMPIC
MÔN: TOÁN 7
Câu
Nội dung trình bày
Điểm

1
(1 điểm)
a) (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1

b)
Điều kiện: x


=>
=>
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
0,5





0,5

2
(1 điểm)
Ta có:
và
với mọi x, y
Nên A
Vậy
khi




0,5


0,5


3
(1 điểm)
Ta có:

Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:

hay
(ĐPCM)

0,5


0,5

4
(1 điểm)
Vì f(x) xác định với mọi x khác 0 nên ta có:


và

Hay
Vậy f(2) =



0,5



0,5

5
(1 điểm)


ĐK:
.
Ta có:

Vì x nguyên dương và
nên

Với x = 1 ( loại) VT=
; VP =

Với x = 2 ( thoả mãn) v ì VT= VP =

Với x = 3 ( loại) VT=
; VP =

Vậy x= 2 là giá trị cần tìm







0,5






0,5

6
(2 điểm)







a)Chứng minh
KAE =
HBA ( ch – gn) => EK = AH
Chứng minh
NFA =
HAC ( ch – gn) => FN = AH
Suy ra EK = FN.
b)Chứng minh
KEI =
NFI ( g.c.g) => EI = FI =

Mà AI =
(gt) => AI = EI = FI =>
và

=>
= 900 =>
= 900
Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A









0,5

0,5

0,5


0,5

7
(1 điểm)


Giả sử

Ta có S =

=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d
=> S = 3a + b – (c + 3d)