De thi HSG truong

trường THCS
kiểm tra chuyên đề nâng cao
năm học 2007 - 2008
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút( không kể phát đề )




Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
và nhỏ hơn

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
= x
+ 2mx + m
và
Q
= x
+ (2m+1)x + m


Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:


Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A =
+5
B =

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC
BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA
Chứng minh: MA
BC












Đáp án Môn: Toán 7

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết

0


=>
= 0; 1; 2; 3 ; 4
*
= 0 => a = 0
*
= 1 => a = 1 hoặc a = - 1
*
= 2 => a = 2 hoặc a = - 2
*
= 3 => a = 3 hoặc a = - 3
*
= 4 => a = 4 hoặc a = - 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
và nhỏ hơn

Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:

=>
=> -77 < 9x < -70. Vì 9x
9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
= x
+ 2mx + m
và
Q
= x
+ (2m+1)x + m


Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
= m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
= m2 – 2m
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m
4m = -1
m = -1/4
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

=>

=> x2 = 4.49 = 196 => x =
14
=> y2 = 4.4 = 16 => x =
4
Do x,y cùng dấu nên:
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14


áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:




=>

=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:


=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y =

Vậy x = 2, y =
thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A =
+5
Ta có :

0. Dấu = xảy ra
x= -1.

A
5.
Dấu = xảy ra
x= -1.
Vậy: Min A = 5
x= -1.
B =
=
= 1 +

Ta có: x

0. Dấu = xảy ra
x = 0

x
+ 3
3 ( 2 vế dương )







4
1+

1+ 4

B
5
Dấu = xảy ra
x = 0
Vậy : Max B = 5
x = 0.
Câu 6:


a/
Xét ADC và BAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE và TIC
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC
BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP
MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA
BC (đpcm)