DE THI HSG TOAN9 CO DA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề )


Câu 1(4đ): Cho biểu thức:
A =

a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b. Rút gọn biểu thức A.
Câu 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức:
A =

Câu 3(4đ): Cho hàm số
y =

a. Vẽ đồ thị của hàm số.
b. Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y.
Câu 4(4đ): Chứng minh bất đẳng thức:


Câu 5(6đ): Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự tại M,N. Chứng minh rằng:
a. AM.BN = IM2 = IN2 ;
b.














ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM.


Câu
Nội dung
Điểm

1

a.Biến đổi biểu thức được:
A =

Điều kiện xác định của A là:


b. Nếu
thì

Nếu
<2 thì



0,75 đ


0,75 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ

2


Tương tự:

Do đó: A = 1+
= 2


0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,75 đ
0,5 đ


3
y =


Lập bảng xét dấu
x
-1 1

x +1
 - 0 + +

x - 1
 - - 0 +


Với x
1 thì y = (- x -1) – ( 1- x) = -2
Với -1 < x < 1 thì y = ( x +1) – ( 1- x) = 2x
Với x
1 thì y = ( x +1) – ( x - 1) = 2

Đồ thị của hàm số được vẽ trên hình 1.


y
2

-1 o
1 x

-2

b. Trên đồ thị ta thấy:
min y = -2
;
max y = 2
> 1
0,25 đ
0,25đ



0,5 đ



0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ






0,5 đ






0,5 đ
0,5 đ


4

a2 + b2 + c2 + d2 + 2

a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd


ac + bd. (2)
Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh.
Nếu ac + bd
0 thì (2) tương đương với
(a2 + b2 )(c2 + d2)
a2c2 + b2d2 + 2abcd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
a2c2 + b2d2 + 2abcd

(ad – bc)2
0 (3)
Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) được chứng minh.


0,5 đ

0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


5

Gt
có BC = a, AC = b, AB = c
(I) nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại M,N.

Kl a. AM.BN = IM2 = IN2 ;
b.








A
Vẽ hình. M



â



B N C
a. Ta có







(g.g)
Nên các tam giác AMI và INB đồng dạng.
Suy ra:


Do đó: AM.BN = IM.IN = IN2 = IM2
b. Đặt AM = m, BN = n, IN = IM = x.
Do

nên:


IA = AM.AB = m.c
(1).
Tương tự
(2)
Xét tam giác MIC vuông tại I, ta có IC2 = CM2 – IM2