DE THI HSG TOAN 992013-2014)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút



Bài 1 (4 điểm):
1) Phân tích thành nhân tử:
.
2) Cho a, b, c, (a+b+c) là các số thực khác 0 thõa mãn các điều kiện:
(I)

Tính giá trị biểu thức: A =
.
Bài 2 (4 điểm):
1) Rút gọn: P =

2) Tính: M =

Bài 3 (4 điểm): Chứng minh rằng:
85 + 211 chia hết cho 17
1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 4 (4 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh
EDF vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
------------------------- Hết -------------------------

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG
MÔN TOÁN 9 (2013-2014)
Bài 1 (4 điểm) :
1) Phân tích thành nhân tử:
.
2) Cho a, b, c, (a+b+c) là các số thực khác 0 thõa mãn các điều kiện:
(I)

Tính giá trị biểu thức: A =
.

1) Phân tích
thành nhân tử :
Quy đồng và phân tích được ra KQ
1,5đ
2) Từ (1) và câu 1) suy ra


0,5đ
Nếu a+b=0
a = -b
c3 = 29 (vì a3+b3+c3=29)
c=8 suy ra A = …= 82013 0,5đ
Nếu b+c=0
b = -c
a3 = 29 (vì a3+b3+c3=29)
a=8 suy ra A = …= 82013 0,5đ
Nếu c+a=0
c = -a
b3 = 29 (vì a3+b3+c3=29)
b=8 suy ra A = …= 82013 0,5đ
Vậy A = 82013 0,5đ

Bài 2 (4 điểm):
1) P =
1đ
=
1đ
2) Đặt a = 1013
a + 1 = 1014. Ta có:
M =
=
0,5đ
=
=
0,75đ


=
0,75đ
Vậy M = 1013+1 = 1014
Bài 3 (4 điểm):
(2đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
(2đ) áp dụng hằng đẳng thức:
an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44.
Bài 4 (4 điểm):
a) (2đ) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì
)
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
giác của
.
b) (2đ) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất
AD nhỏ nhất

D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 5 (4 điểm):
a) (2đ) Chứng minh
EDF vuông cân
Ta có
ADE =
CDF (c.g.c)

EDF cân tại D
Mặt khác:
ADE =
CDF (c.g.c)


Mà
= 900

= 900


= 900. Vậy
EDF vuông cân

b) (2đ)