De thi hsg toan 9

Sở giáo dục và đào tạo
Phú Thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THcs cấp tỉnh
năm học 2010-2011

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có một trang

Câu 1 (4 điểm)
a) Cho
. Tính giá trị của biểu thức

.
b) Tính tổng
S =
.
(mỗi số hạng trong tổng trên có dạng
, với n
và 1
n
60).
Câu 2 (3 điểm)
Giải hệ phương trình


Câu 3 (4 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n để
là số chính phương.
b) So sánh M và N biết
Câu 4 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Câu 5 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích
.
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định.
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh .................................................................................... SBD ...................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011

MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 5 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
( Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
( Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
( Tổ chấm có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II. Đáp án và biểu điểm
Đáp án
Điểm

Câu 1 (4 điểm)
a) Cho
. Tính giá trị của biểu thức

.
b) Tính tổng
S =
.
(mỗi số hạng trong tổng trên có dạng
, với n
và 1
n
60).


a) (2 điểm). Từ giả thiết, suy ra


0,50


(1)
0,50

Tương tự ta có:
(2)
0,50

Từ (1) và (2) suy ra: x + y = 0 hay x = – y. Suy ra T = 0
0,50

b) (2điểm). Với k là số tự nhiên khác 0 ta có:

=

0,75

Cho k lần lượt nhận các giá trị 1, 2, …, 60. Ta được:




…



0,75

Vậy S =

0,5

Câu 2 (3 điểm)
Giải hệ phương trình



Viết lại hệ đã cho dưới dạng


0,25

Đặt t = x – 2 thì x = t + 2, thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được


0,50

Khi đó có hệ phương trình

(I)
0,25

Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của t, y, z nên ta có thể giả sử
t = max
.
0,25

1) Trường hợp
. Từ hệ (I) ta có





Do đó t = y = z = 1.
0,75

2) Trường hợp
. Tương tự ta có:

Do đó t = y = z = 1.
0,75

Nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x: y: z) = (3: 1: 1)
0,25


Câu 3 (4 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n để B = n4 + n3 + n2 + n + 1 là số chính phương.
b) So sánh M và N biết

a) (2 điểm). Đặt n4 +