De thi hsg toan 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
THỜI GIAN 150 PHÚT
Năm học 2009 - 2010
Câu 1(4đ): Giải các hệ phương trình sau:
a)

b)

Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


Câu 3(3đ): Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn điều kiện


Chứng minh rằng:
.
Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ là đường kính của đường tròn (O).
Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và d là tiếp tuyến của (O) tại C. Gọi AH, BI là các đường cao của tam giác.
a) Chứng minh HI // d.
b) Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đường thẳng d. chứng minh rằng MN = EF
Câu 6(2đ): Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chia hết cho 12
















ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2009 - 2010
Câu
Đáp án
Thang điểm






















1



a)

Đặt u =
, v =
(
)
Ta có

Do u2 – v2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x
Mà u + v = 5 nên u – v = x
Do đó u =
, v =

Từ phương trình thứ hai của (*) ta được
y = v + x – 1 =

Thay y =
vào phương trình (2) ta được


Với x = 1 ta được y = 2; x = 19 ta được y = 11
Thử lại hệ phương trình ta được hệ có một nghiệm là (1;2)




0.25
0.25
0.25
0.25



0.25



0.25

0.25


0,25


b)

Điều kiện

Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cô Si ta có:

(3)

(4)
Vậy

Dấu “=” xảy ra



Ta thấy x = y =2 củng thỏa mãn phương trình (1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;2)



0.25

0.5

0.5

0.25

0.25


0.25










2





Ta có



Mặt khác, với x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô Si ta có

,



Dấu = xảy ra khi x = y = z.
Ta có



Vậy



Vậy P đạt giá trị lớn nhất là
tại





0.25

0.5

0.25

0.25

0.5

0.25
0.25

0.5


0.25








3
Ta có:



Vậy

Tương tự:



Nhân ba bất đẳng thức trên ta được:





0.5

0.5

0.5


0.25

0.25


0.5

0.5














4







0.5


Để chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O), ta cần chứng minh ba điểm P, Q, O thẳng hàng.
Trong đường tròn tâm M ta có:

(góc ở tâm chắn cung AC)
Trong đường tròn tâm O ta có:

(góc ở tâm chắn cung AQ)
Suy ra
(1)
Chứng minh tương tự ta có

(2)
Tứ giác MAOB có


(3)
Từ (1), (2), và (3) suy