De thi HSG Toan 8

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO
------------
-----------
ĐỀ CHÍNH THỨC


ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÁNG 3
Năm học 2011-2012
Môn Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)
------------------------------------------
(Đề này gồm 1 trang)


Câu 1 (1,5 điểm). Cho
.
Chứng minh rằng:

Câu 2 (2 điểm). Rút gọn biểu thức:
a) A=
+
+

b) B =

Câu 3 (2 điểm). Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:


Câu 4 (2 điểm). Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
, điểm O nằm trên đoạn AD sao cho
. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỷ số AK : KC.
Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M.

-------------------Hết-----------------

Lưu ý: Người coi khảo sát không giải thích gì thêm!












HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm

1
Nhân cả 2 vế của:

với a + b + c rồi rút gọn
đpcm
1,5

2
a) A=

(đổi dấu)
= …. =
= 1
1


b) Ta có:

=
;

Tử thức:
=
-

=

Mẫu thức:
=

Rút gọn ta có: B =







0,5








0,5


3




Vì
=>
=>

=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)





1







1

4
Từ D kẻ DM // BK
Áp dụng định lí Talét vào
AOK ta có:

(1)
Tương tự, trong
CKB thì:
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

0,5

0,5



0,5


0,5

5
Gọi giao điểm của AH và BC là I
Từ C kẻ CN // PQ (NAB),
Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN MK là đường trung bình của BCN
MK // BN MK // AB (1)
H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK CH MK là đường cao củaCHK (3)
Từ AH BC MCHK MI là đường cao của
CHK (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của CHKMHCN MHPQ

MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M



0,5







0,5
0,5

0,5




0,5