Đề thi HSG Toán 7 THCS HoaPhuj 2016-2017

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ) a. Thực hiện phép tính sau:


b. Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết.
a/ (x – 1)3 = - 8 b/

c/ x - 3
= 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,0đ)
a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.
b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 4: (2,0đ)
a/ Cho
. Chứng minh rằng:

b/ Cho a, b, c > 0 và dãy tỉ số:

Tính: P =


c/ Cho x, y, z, t ( N. Chứng minh rằng:
M =
có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài 5: (3,0 đ) Cho (ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài (ABC vẽ (BAD vuông cân tại A, (CAE vuông cân tại A. Chứng minh:
a/ DC = BE; DC ( BE
b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Bài 6: (0,5đ) Cho (ABC nhọn với
= 600. Chứng minh rằng:
BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC









ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/
1,0đ





0,25đ

0,25đ


M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45
0,25đ
0,25đ

c/
1,0đ
Ta có f(-2) = 0 ( 4a – 2b + c = 0
f(2) = 0 ( 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0 ( b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 ( a = 3/5 ; c = -12/5
0,25đ

0,25đ

2a/
0,5đ
 (x – 1)3 = -8 ( x – 1 = -2
( x = -1. Vậy x = -1
0,25đ
0,25đ

2b/
0,5đ

. ĐK
(


(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3

0,25đ

0,25đ

2c/
0,5đ
x - 3
= 0. ĐK x ≥ 0 (
(TMĐK)

0,5đ

2d/
0,5đ
12x = 15y = 20z (

0,5đ

3a/
0,75đ
Vì a ( Z+ ( 4a ( 1 (mod 3) ( 4a + 2 ( 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 ( 0 (mod 2) ( 4a + 2
6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010
6
Vậy với a, b ( Z+ sao cho a + 1 và b + 2007
6 thì 4a + a + b
6
0,25đ

0,25đ
0,25đ

3b/
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 ( 6x2 ≤ 74 ( x2 ≤ 74/6 mà x ( Z ( x({0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2
5 ( x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 ( y2 = 10 (loại vì y ( Z)
Nếu x2 = 9 ( y2 = 4 ( (x, y) ( {(3, 2); (3; -2);