Đề thi HSG Toán 7 lần 2 THCS Hoằng Phụ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 7
Năm học 2016 - 2017
Bài 1: (2đ) Thực hiện phép tính:
a) A =

b) Tính

Bài 2(2đ) : a) Chứng minh rằng:
Nếu
Thì

b) Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

( n là số tự nhiên)
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Bài 3: (2đ) Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)
Bài 4 : (3đ) Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
c) Tìm x, y biết :

Bài 5 (2đ) a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:

b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :

và

Bài 6: (2đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
Bài 7 (3đ) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 8 : (2đ) a) Cho m, n
N* và p là số nguyên tố thoả mãn:
=
(1)
Chứng minh rằng : p2 = n + 2
b) Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:





HƯỚNG DẪN chấm
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….



=

HD : a) Từ





(1)

(2)

(3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
x( 1 + 2 + 3 + 2011) = 2012.2013

b) xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4



HD: a) 2m + 2n = 2m +n
2m + n – 2m – 2n = 0
2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1

(2m -1)(2n – 1) = 1


b) 2m – 2n = 256
2n ( 2m – n - 1) = 28
Dễ thấy m
n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1
n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n
2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
HD : ta có
với mọi x,y và (y – 1)2012
0 với mọi y
Suy ra :
với mọi x,y . Mà




HD : a)
5 ( x + y) = xy (*)
+ x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
5q + y = qy
5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có
Ư(5) , từ đó tìm được y, x
b) a2 ( a +3) = 5b – 5 ,
a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)

Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1a = 2 và b = 2
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
Do ( x - 1)2
0 với mọi x , nên P