Đề thi HSG Toán 7 cực hay

Hướng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2007-2008

Bài 1. Tính tổng: S = (3,5 điểm)
Giải: Nhận xét: tử số có dạng 2n(n + 1) + 1. Mẫu số có dạng n(n + 1), n
Nên Lần lượt thay giá trị n từ 1 đến 9 ta có:
S = 18 +( 1- = 18 + (1 - = 18,9
Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dương trong biểu thức sau: (3,5 điểm)
Giải: Giả sử x y thì nên => y < 4. Mặt khác y > 1 xét y ta được y = 2 => x = 4; y = 3 => không có gía trị x thoả mãn
Vậy x = 2 => y = 4 hoặc y = 2 => x = 4
Bài 3. Tìm x biết: a) (3điểm)
Giải: Ta có 1 – 3x ≥ 0 => x ≤

=> Ta có pt 3 - x = 1 - 3x => x = -1 thoả mãn đ/k bài toán. Vậy x = -1
b) (3điểm)
Giải: = - hay
Vậy với x thoả mãn đ/k bài toán
Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một trường THCS đã trồng được một số cây. Biết tổng số cây trồng được của lớp 7A và 7B; 7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng được của các lớp. (3điểm)
Giải: Gọi số cây trồng được của các lớp là a, b, c. Theo bài ra ta có:
(a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay:
=> a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b: c =3 : 1 : 4. Vậy số cây trồng được của các lớp 7 tỷ lệ với các số 3, 1, 4
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác vuông cân ACD trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông cân BDE Đường thẳng ED cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng EA cắt đường thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM (4 điểm)
Giải: +) Xét CBD và ADE có:
CD = AD (gt), BD = DE (gt)
(cùng phụ
=> CDB ADE (c.g.g) => (1)
+) Xét FDB và MDE có:
(gt), BD = ED (gt)
( theo 1)
=> FDB = MDE => DF = DM (Đpcm)