Đề thi HSG toán 7 có đáp án cực chuẩn

Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh năng khiếu lớp 7
Năm học 2012-2013
Môn thi: toán
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề )
( Đề thi gồm 01 trang )
Câu 1 ( 1,5 điểm )
Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy.
Chứng minh rằng: x = y = z
Câu 2( 2 điểm )
a) Tỡm x biết: 5x + 5x+2 = 650
b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )2008 +
2009
0
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d (Z
Biết
. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
Câu 4( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh AM = AN và AH ( BC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm

c) Chứng minh MAN > BAM = CAN
Câu 5 ( 1 điểm )
a) Cho
và
.
Tính
.
b) Cho A=

Tìm x
Z để A có giá trị là một số nguyên
Hết

Hướng dẫn chấm toán 7
Câu
Nội dung
Điểm

1
 Vì x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy (
.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (



1

0,5



2
a) 5x + 5x+2 = 650

5x ( 1+52 ) = 650

5x .26 = 650

5x = 25

5x = 52
=> x = 2

b) Ta có (3x -33 )2008
0

2009
0
Suy ra (3x -33 )2008 +
2009
0
Mà (3x -33 )2008 +
2009
0 (Theo đề bài )
Nên (3x -33 )2008 +
2009 = 0

(3x -33 )2008 =0 và
2009 = 0


x =11 và y =7


0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0.25

0,25
0,25

3
Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c



Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b)
vì ( 2; 3) = 1


Vậy a , b , c đều chia hết cho 3


0,5

0,5



0,5

0,5




4



















0,25

a
Chứng minh (ABM = (ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN
Chứng minh (ABH = (ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900
( AH ( BC
0,5
0,75

b
Tính AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16 ( AH = 4cm
Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17 ( AM =
cm
0,5
0,75

c
Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra (AMN= (KMB ( c- g- c) ( (MAN = (BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM ( BA > BK ( (BKA > (BAK (( MAN >(BAM=(CAN
0,25
0,25
0,25


Ta có:









= S.
Do đó
=0





0,25

0,25



Tìm x
z để A
Z
A=
( đk x≥0 , x≠9 )
A nguyên khi
nguyên

là Ư (4)
Ư(4) = (-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4(
Các giá trị