Đề thi HSG toán 7

Đề thi HSG Toán 7 (13/4/2013)
Bài 1: 
1.      Thực hiện phép tính: 

2.       Tìm các giá trị của x và y thoả mãn: 

3.       Tìm các số a, b sao cho 
 là bình phương của số tự nhiên.
Bài 2: 
1.      Tìm x,y,z biết: 
 và x-2y+3z = -10
2.      Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0
Chứng minh rằng: 

Bài 3: 
1.      Chứng minh rằng: 

2.      Tìm x,y để 
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: 
            Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. 
            Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
             1, Chứng minh: BH = AK
             2, Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? 
 






Bài 1:
1) Ta có:
      


 





 Bài 2:
 2)Theo bài ra:
              
Đặt 






 Thay vào 
 ta được:
 


 

 

 
;

 


     
;   

Vậy 
 thỏa mãn đề bài
 Bài 3:
 2)Để 
 thì 
 và

Mà 
 với mọi 
;  
 với mọi 


  

;

     
 

Vậy 
 thỏa mãn đề bài

 Bài 4:
 

a) Ta có:

               


             

Từ 
 và
  

       
 Cạnh huyền- góc nhọn)  
 ( 2 cạnh tương ứng)
 b)Ta có:


( 2 góc tương ứng)           (3)

  cân tại M 
  (4)
Từ (3) và (4)  
    (5)
Mà 
( chứng minh câu a) 
 (2 góc tương ứng)
    Hay 
  (6)
 Từ (5) và (6) 

Ta có:


(2 góc tương ứng)

(2 cạnh tương ứng)
cân tại M 

Lại có :
Hay 


  vuông tại M 

Kết Hợp 
 và 
 
 vuông cân