De thi HSG Toan 6 + dap an cap huyen.doc

PHÒNG GD- ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN – LỚP 6
Thời gian 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 07/4/2013
Câu 1: ( 4 điểm)
a)

b) Tìm các số nguyên x và y biết rằng

Câu 2: ( 5 điểm)
Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức
là số nguyên
Tìm số tự nhiên x biết rằng

Câu 3: ( 5 điểm)
Cho hai phân số có tổng bằng 2013 lần tích của hai phân số đó. Tính tổng số các nghịch đảo của hai phân số đó.
Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8
Câu 4: ( 2 điểm)
Chứng tỏ rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì
chia hết cho 6
Câu 5: ( 4 điểm)
a)Trên đường thẳng xy lấy các điểm M, N, P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a ( với a > 0) . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a
b) Cho tia Ox là phân giác của
trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ là đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho
. Chứng tỏ rằng:

Giải:
Câu 1: a)





b) Ta có




-1
-5
1
5



-5
-1
5
1



1
-3
3
7



-4
0
2

( loại)

Vậy

Câu 2: Để biểu thức
là số nguyên thì
. Ta có Ư(17)
nên


-17
-1
1
17

n
-9
-1
0
8

Vậy

b)
( 1)
Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có
và từ 1đến 100 có tổng
nên vế trái của (1) là
ta có
. Vậy
là số tự nhiên cần tìm
Câu 3:
Gọi hai phân số cần tìm là
và y với

. Theo đề ta có

(1) Do
nên chia hai vế của (1) cho xy ta được
. Nên tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là 2013
Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có
với

và
hay
(2) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 nên ta có
với
(3). Từ (2) và (3) suy ra
là số tự nhiên cần tìm.
Câu 4: Khi a là một số lẻ không chia hết cho 3 nên a có dạng:
và
với
. Khi



=
với mọi k. Vậy
.
Khi


=
với mọi k. Vậy
.
Câu 5:a)
Trường hợp N và P nằm khác phía với M ta có M nằm giữa N và P nên ta có

Trường hợp N; P nằm cùng phía với M ta có N nằm giữa M và P nên

b) Do Ox là tia phân giác của
nên
. Do
(gt) nên tia ON nằm giữa hai tia OM và Oy nên