De thi HSG Toan

UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (VÒNG 1)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————


Câu 1. (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức

Câu 2. (3,0 điểm)
a) Giải phương trình

b) Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn



Câu 3. (1,5 điểm) Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện
.
Chứng minh rằng:

Câu 4. (3,0 điểm) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của M xuống NP. Chứng minh rằng QM là tia phân giác của góc BQC.
Câu 5. (1,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 20 điểm phân biệt. Người ta nối một số cặp điểm trong số 20 điểm này lại với nhau bằng những đoạn thẳng, sao cho với ba điểm bất kì trong các điểm đã cho có ít nhất 2 điểm không được nối với nhau. Chứng minh rằng số đoạn thẳng không vượt quá 100.

—Hết—


(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:……………………………………………………Số báo danh:…………………


UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9(VÒNG 1) THCS NĂM HỌC 2011 – 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM: MÔN TOÁN
—————————


Câu 1. (1,5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm

Biến đổi được

0,5



0,5

Kết quả A = 1
0,5

Câu 2. (3,0 điểm) a) (1,5 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm

ĐK:
. Phương trình đã cho tương đương với
0,25



0,25

( x = -1 (t/m
) hoặc

0,25

Giải (1): nếu x > -1 thì x + 4 > 3 và
< 3 nên pt(1) vô nghiệm
0,25

nếu
thì x + 4 < 3 và
>3 nên pt(1) cũng vô nghiệm
0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1
0,25

Học sinh có thể biến đổi thành
rồi tìm được nghiệm vẫn cho điểm tố đa


b) (1,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với


0,5

Do
là số chính phương và


nên

0,75

Suy ra
và do đó

Thử lại và kết luận
0,25

Câu 3. (1,5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm

Ta có a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 – ab3 + b4 ) = (a + b)[(a - b)2(a2 + ab + b2) + a2b2]
Do
nên

Suy ra
. Đẳng thức xảy ra khi a = b.
0,5

Do đó:
(1) (vì có abc =1)
0,25

Chứng minh tương tự tacó
(2)
(3)
0,25

Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta có

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
0,5

Câu 4. (3,0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm





Gọi H, T lần lượt là hình chiếu của B, C xuống NP.
0,5

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có tam giác ANP cân tại A, suy ra

0,5

suy ra (BPH ∽ (CNT (g.g), suy ra
(do MQ//BH//CT)
0,5

Vậy (BHQ ∽ (CTQ (c.g.c)
0,5

Suy ra

0,5

Do đó QM là phân giác của góc BQC
0,5

Câu 5. (1,0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm

Lấy A và B là hai điểm trong số 20 điểm đã cho và được nối với nhau. Khi đó với điểm thứ ba M trong số 20 điểm thì hoặc A hoặc B không được nối với M. Do đó số đoạn thẳng có một đầu mút là A hoặc B là không vượt quá 19(kể cả đoạn