Đề thi HSG môn toán 9

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2010 - 2011


HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: TOÁN
----------------------------------------------


CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM

1

7.0

a

4.0


Đặt

1.0


Phương trình đã cho trở thành

( loại)
1,5


Khi đó

V ậy phương trình có nghiệm

1.5

b

3,0


Hệ đã cho trở thành




0,5


Suy ra



0.5




0,5




0.75


Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:


 0.75


2

2.0


Ta có A =

0.25


Với n = 0 thì A = 0 (thỏa mãn)
0.25


Với n
0 thì A là số chính phương khi và chỉ khi
là số chính phương.
0.25


Khi đó
.



0.25


Vì
nên


0.5



(thỏa mãn)
0.25



(loại)
Vậy

0.25

3

3,0



















Ta có Vì tứ giác AFBN nội tiếp nên
(1)

(2)
0.5
0.25


Tương tự
(3)

0.5


Theo giả thiết
(4)
Từ (2), (3), (4) suy ra


1.0


Do đó tứ giác BCEF nội tiếp
Suy ra
(5)

0.75


Theo giả thiết
(6)
Từ (1), (5), (6) ta có


0,75



Do đó A, E, F thẳng hàng.
0.25

5

3.0


















Kẻ tiếp chung Ax của (O) và (O’) tại M
Khi đó











0.5


Suy ra
(1)
0.25


Ta có


0.5



( do (1) ) (
(2)

0,5


Tương tự
(3)

0.25


Từ (2), (3) suy ra


0,25


Ta chứng minh được kết quả MA = MB +MC

0.5


Do vậy
= 1, từ đó AI = BJ + CK
0.25

5

4.0

a

2.0


Đặt

Khi đó P =

0,25


Không mất tính tổng quát, giả sử x là số nằm giữa y và z
Khi đó

.
0.5


Suy ra



Do dó P


0.75


Dấu bằng xảy ra khi
hoặc
,
và các hoán vị.

0.25


Vậy giá trị lớn nhất của P là 2
0.25

b

2,0


Vì các điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại 2 điểm A,B sao cho 2008 điểm còn lại nằm về
1 phía đối với đường thẳng AB.
0,5


Do không có 4 điểm nào cùng nằm trên một đường tròn nên ta có thể đặt tên 2008 điểm còn lại là
sao cho


0.5


Vẽ đường tròn đi qua A,B, M1001.
0.5


Khi đó các điểm
nằm trong đường tròn này và các điểm còn lại nằm ngoài đường tròn này.
0.5


Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.