Đề thi HSG lớp 8

TRƯỜNG THCS ĐỨC LÂN ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
Tổ Toán – Lý – Tin – CN Cấp trường – Năm học 2012 – 2013
Thời gian 150 phút

Bài 1: (3,5đ) a, Chứng minh rằng với mọi n nguyên thì:

b, CMR với
thì:
.
c, Tìm số tự nhiên n để phân số
tối giản.

Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a,

b, x5 + x + 1
c,


Bài 3: (3đ) Giải phương trình:
a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
b,

c,


Bài 4 (3,5 đ)
a/Cho
và
. Chứng minh rằng :
.
b/Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Bài 5: (4đ) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh
EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 6: (3)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.



**************-The end-**************
TRƯỜNG THCS ĐỨC LÂN ĐÁP ÁN
Tổ Toán – Lý – Tin – CN ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 Cấp trường – Năm học 2012 – 2013


Bài
Phần
Nội dung
Điểm

1
a
Ta có:
= n3 - n – 12n
= n(n – 1)(n +1) -12n
Trong ba số nguyên liên tiếp ắt có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên n(n – 1)(n +1)
6 và 12n
6
Vậy

6
0,5


0,5


b
CMR: với
thì:

Ta có 30 = 2.3.5


n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích

ta chứng minh

Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k
1 hoặc n = 5k
2
1, Nếu n = 5k thì

2, Nếu n = 5k
1 thì

3, Nếu n = 5k
2 thì


0,5


0,5


0,5


c

tối giản



n – 2
 3 và n – 2
 5

0,5

0,5

2
a





0,5


0,5


b
x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1
= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
1


c





0,5


0,5


3
a
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0














Vậy





0,5




0,5


b






ĐKXĐ:

Phương trình trên có thể viết:







(TM ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10
0,5




0,5








0,5


c
Đặt x – 7 = y, Phương trình trở thành:







0,5


0,5