DE THI HSG LOP 7 TRAN MAI NINH TPTH

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Năm Học : 2014 – 2015
-------------------------------------------
Câu 1 (4 điểm) : Thực hiện phép tính
a/

b/

Câu 2 (5 điểm) :
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì
chia hết cho 10
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

c/ Tìm x, y thuộc Z biết :

Câu 3 (4 điểm) :
a/ Cho
và
Tính x – 2y + 3z
b/ Cho
và

Trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Câu 4 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F. Chứng minh rằng
a/ BE = CF
b/

Câu 5 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
-------------------------------------------------------




LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 1




2.0






2.0

Câu 2
a/ Ta có :

=
chia hết cho 10 với n là số nguyên dương (ĐPCM)
1.5


b/
.
Cách 1 : Ta xét 4 trường hợp xảy ra
TH 1 : x < 2014
A = 2014 – x + 2015 – x + 2016 – x = 6045 – 3x > 3 (Vì x < 2014)(1)
TH 2 : 2014 ≤ x < 2015
A = x – 2014 + 2015 – x + 2016 – x = 2017 – x > 2 (Vì x < 2015)(2)
TH 3 : 2015 ≤ x < 2016
A = x – 2014 + x – 2015 + 2016 – x = x - 2013 ≥ 2 (Vì x ≥ 2015)(3)
TH 4 : x > 2016
A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vì x > 2016)(4)
Từ 1,2,3,4 => A ≥ 2 . Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015
Cách 2 : Sử dụng BĐT
, Dấu = xảy ra khi AB ≥ 0
Do
=>

Dấu = xảy ra khi x = 2015 (1)
Ta có :

Dấu = xảy ra khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0 => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
Từ 1,2 => A ≥ 2. Dấu = xảy ra khi x = 2015
Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015
2.0


c/ Tìm x, y thuộc Z biết :

Ta có 25 – y2 ≤ 25 =>
≤ 25 =>
< 4
Do x nguyên nên
là số chính phương, nên có 2 trường hợp.
TH 1 :
thay vào => y = 5 ; y = -5
TH 2 :

Thay vào => y2 = 17 (loại)
Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5
1.5

Câu 3
a/ Cho
và
Tính x – 2y + 3z
Ta có :
=>
. Thay vào tỷ lệ thức
=>

=> x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 2 + 14 + 3 = 19
2.0


b/ Cho
và

Trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Ta có :



Do f(x) = g(x)
=> f(0) = g(0) => 8 = c – 3 => c = 11 =>

=> f(1) = g(1) => a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 => a + 4b = -3 (1)
=> f(-1) = g(-1)=> -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 => - a + 4b = 3(2)
Từ 1,2 => b = 0, a = -3
Vậy : a = -3 , b = 0 ; c = 11
2.0

Câu 4


a/ BE = CF
Qua E kẻ đường thẳng song song với AC