DE THI HSG 8 NAM HOC 2010-2011

Phòng GD-ĐT Hoài Nhơn
Trường THCS Hoài Châu Bắc



----------------------------------------------------------
Đề chính thức

Bài 1 ( 2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để n + 19 và n – 27 là số chính phương.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2x2 + y2 + 1 = 2xy + 2x

Bài 2 ( 2,5 điểm)
a) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
b) Giải phương trình : x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2 = 0

Bài 3 ( 1 điểm):
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa: a + b + c = 2.
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

Bài 4 ( 2 điểm):
Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng
b) Cho SAOB= 20102 (đơn vị diện tích); SCOD= 20112 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

Bài 5 ( 2 điểm):
a) Cho tam giác ABC, lấy M, N lần lượt trên AB, BC sao cho AM = BN và MN // AC. Chứng minh: (với AB = c; BC = a; AC = b).
b) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại B/ và C/. Chứng minh rằng:

-----------------------------------------------------------------

















ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài 1 ( 6 điểm):
a) (3 điểm): Giả sử mười số đã cho viết thành một hàng là a1, a2, a3, . . . , a10.
Xét mười tổng: a1 + 1, a2 + 2, a3 + 3, . . . , a10 + 10.
Giả sử mười tổng trên không có hai tổng nào có chữ số tận cùng giống nhau, tức là 10 tổng có tương ứng 10 chữ số tận cùng khác nhau, suy ra tổng tất cả các chữ số tận cùng của chúng là 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + 9 = 45, suy ra tổng:
S = a1 + 1 + a2 + 2 + a3 + 3 + . . . + a10 + 10 có tận cùng là 5, điều này vô lí
vì tổng S = a1 + 1 + a2 + 2 + a3 + 3 + . . . + a10 + 10 = 110 có tận cùng là 0
Vậy điều giả sử là sai => đpcm.
b) ( 3 điểm): x, y nguyên tố => z > 2 => z lẻ => x, y phải khác tính chẵn lẻ.
Vai trò x, y như nhau, nên giả sử x lẻ, y chẵn => y = 2.
Khi đó xy + yx = z ( x2 + 2x = z
. Nếu x = 3 thì ta có 32 + 23 = 17 thoả mãn .
. Nếu x 3 thì ta có x = 3n + 1 với n nguyên dương và n > 1.
Ta có 2x = ( 3 – 1 )x = 3t – 1 ( vì x lẻ ) với t nguyên dương và t > 1.
Do đó z = x2 + 2x = 3n + 1 + 3t – 1 = 3( n + t ) là một hợp số ( vì n + t >1), không thoả mãn. Vậy (x; y; z) là ( 3; 2; 17), (2; 3; 17)
Bài 2 ( 7 điểm):
a) ( 3 điểm) : Ta có
Đặt x = a + b, y = b + c, z = a + c.
Ta có =
P , Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Vậy Min P = khi a = b = c
b) ( 4 điểm) : Giải phương trình :
ĐK x –1 . Đặt a = b = Ta có hệ phương trình:
Từ (1) => b = 3 – a , thay vào (2) và biến đổi được :
( a – 1)( a2 + 6) = 0 a = 1 , thoả mãn b = 3 – a 0
a = 1 , thoả mãn điều kiện .
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.
Bài 3 ( 4