DE THI HOC SINH GIOI TOAN 9 HUYEN SONG LO VONG 1 NAM HOC 2017-2018

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Năm học 2017- 2018
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian : 150 phút (không kể phát đề)
------------------------------------------

Bài 1 (2 điểm):
Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A được xác định và rút gọn biểu thức
.
b) Tìm giá trị của
để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng
là một số nguyên
b) Giải phương trình

Bài 3 (2 điểm):
a) Giải phương trình nghiệm nguyên:

b) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số
, biết rằng hai chữ số đó hơn kém nhau 5 đơn vị và

Bài 4(3 điểm):
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD (E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
Chứng minh:
không đổi
Chứng minh:

c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Bài 5 (1 điểm):
Cho các số thực
thỏa mãn
. Chứng minh rằng:

------------------Hết----------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêmHƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Đáp án
Điểm

1a
ĐKXĐ:

Rút gọn A:



0,25








0,75

1b
Với ĐK
ta có

Vì A nhận giá trị nguyên nên

+ Nếu
thì

+ Nếu
thì

+ Kết hợp với ĐKXĐ ta có: Để A nhận giá trị nguyên thì

và

hoặc



0,25



0,25

0,25





0,25

2a
Đặt

Lập phương 2 vế ta được

Mà phương trình
có nghiệm duy nhất
nên


0,25

0,25

0,25

0,25

2b
ĐKXĐ:

Đặt

Ta có
(1)
Mặt khác

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
(t/m ĐKXĐ)
Vậy
là nghiệm của phương trình


0,25



0,25


0,25


0,25

3a
Ta có x5 – 5x3 + 4x = 5(24y + 1)
x3(x2
1) – 4x(x2
1) = 120y + 5

(x
2)(x
1)x(x + 1)(x + 2) = 120y + 5
Ta có vế trái là tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 (1)
Vế phải chia cho 120 dư 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình vô nghiệm nguyên

0,5


0,5

3b
Điều kiện 1
x, y
9 và x, y nguyên. Ta có :



1100x +11y = (11x)2 + (11y)2

11(100x + y) = 112(x2 + y2)

99x + (x + y) = 11(x2 + y2).

(x + y)
11
x + y =11 (vì 2
x + y
18). Kết hợp với giả thiết x – y = 5 hoặc y – x = 5. Từ đó (x ; y) có thể là (3 ; 8), (8 ; 3).
Thử lại chỉ có: (x ; y) = (8 ; 3) thỏa mãn . Vậy số cần tìm là 83.




0,5


0,5

4a

Học sinh c/m:
ABF =
ADK (g.c.g)
suy ra AF = AK
Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:

hay
(không đổi)





1,25

4b
HS c/m

Mặt khác:
. Suy ra:






1

4c
Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN
Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N
MN’ là phân giác của

Cách dựng điểm N:
- Dựng M’ đối xứng M qua AD
- Dựng phân giác
cắt DM’ tại