Đề thi học sinh giỏi toán 7

ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 (CÓ BÀI GIẢI)
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: (2 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tính giá trị biểu thức:

Câu 2: (1 điểm) Cho
.
Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
Câu 3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng ½ khoảng cách từ xe máy đến M.
Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
a) Chứng minh rằng:

b) Biết
và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C.
Câu 5: (1,5 điểm) Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200.
Câu 6: (1,5 điểm) Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12, các điểm khác 3; 4; 5; 6;…;11. Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó.


BÀI GIẢI
Câu 1: (2 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tính giá trị biểu thức:

Giải:
Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được:




+ Nếu
thì
lúc đó

+ Nếu
thì
;

Lúc đó

Câu 2: (1 điểm) Cho
.
Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
Giải:


Vì
nên
. Mặt khác
nên


S không thể là số chính phương
Câu 3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng ½ khoảng cách từ xe máy đến M.
Giải:
Quãng đường AB dài 540 km; nửa quảng đường AB dài 270 km. Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là
. Trong cùng 1 thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó
(t chính là thời gian cần tìm).


Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng ½ khoảng cách từ xe máy đến M.
Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
a) Chứng minh rằng:

b) Biết
và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C.
Giải:
/