De thi hoc sinh gioi

Bài 1: Cho biểu thức: A= (3x +2y)² +(z +y)² +(z -x)² . Tìm các số nguyên x; y; z để: 0 <= A <= 1. Bài 2) Tìm số tự nhiên abc (có ba chữ số a;b ;c khác nhau ) sao cho 3 .a + 5. b = 8.c Bài 3): Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết: 2. abc = bca + cab
1) Do x,y,z nguyên nên A là số tự nhiên ,vậy A chỉ có thể là 0 hoặc 1. Nếu A = 0 ,<=> 3x + 2y = z+ y = z - x = 0. Giải ra ta có : x = y =z = 0. Nếu A = 1 ,<=> Trong 3 giá trị : 3x + 2y ,z + y , z - x thì có 2 giá trị bằng 0 ,giá trị còn lại là +1 hoặc -1.Bạn xét từng trường hợp sẽ giải ra . 2) Chuyển vế và nhóm ta có : 3.(a - c) = 5.(c - b). Do 3 và 5 nguyên tố cùng nhau ,nên : (a- c) khác 0 và chia hết cho 5 ,và (c - b) khác 0 và chia hết cho 3. Bạn xét từng trường hợp với (a -c) = -5 ,+5 thì có (c - b) tương ứng = -3 ,+3. 3) 2.abc = bca + cab <=> 200.a + 20.b + 2.c = 11.a + 101.b + 110.c <=> 189.a = 81.b +108.c <=> 7.a = 3.b + 4.c <=> 3.(a - b) = 4.(c - a). Do 3 và 4 nguyên tố cùng nhau ,nên (a- b) chia hết cho 4 và (c - a) chia hết cho 3. Giải tương tự như bài 2 ,chú ý rằng : a = b= c là một nghiệm rất đẹp.