Đề thi học kì 2

Bài 1:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.
a/ Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông.
b/ Chứng minh rằng: 2 AD BE=R  .
c/ Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất.
Bài 2 :
Cho đường tron tâm O, đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (B C)  vẽ đường trò tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ một dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đường tròn (O’) tại I.
a/ Tứ giác ADBE là hinh gì? Vì sao?
b/ Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng
c/ Chứng minh rằng MI tiếp tuyến của đường tròn tâm (O’) và MI2 = MB.MC
Bài 3 :
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB dài 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB).
a/ Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.
b/ Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tgABC.
c/ Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d/ Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC tại E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điêm của đoạn thẳng CH.

Bài 4 :
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm).
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2/ Gọi E giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2.
3/ Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P,Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đướng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh rằng PM + QN  MN.
Bài 5 :
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E.Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a/ Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.
b/ Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c/ Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh rằng hai tam giác AEO và MQP đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d/ Đặt AP = x; Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. GiẢI