De thi Chuyen KHTN nam hoc 2011-2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011


MÔN: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phương trình

.
2) Giải hệ phương trình


Câu II. 1) Với mỗi số thực
ta gọi phần nguyên của
là số nguyên lớn nhất không vượt quá
và ký hiệu là
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
, biểu thức
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương.
2) Với
là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Câu III. Cho hình thang
với
song song
Các góc
và
là các góc nhọn. Hai đường chéo
và
cắt nhau tại

là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng
(
không trùng với
). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đoạn thẳng
tại
khác
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đoạn thẳng
tại
khác

Chứng minh rằng năm điểm cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là
Giả sử các đường thẳng
và
cắt nhau tại
chứng minh rằng
cũng nằm trên đường tròn

Trong trường hợp
thẳng hàng, chứng minh rằng

Câu IV. Giả sử
là một tập con của tập các số tự nhiên
Tập
có phần tử nhỏ nhất là
phần tử lớn nhất là
và mỗi
thuộc

luôn tồn tại
cũng thuộc
sao cho
(
có thể bằng
). Hãy tìm một tập
có số phần tử nhỏ nhất.



Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.