Đề thi chọn HSG toán 7.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN MÔ

(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)


Câu 1: (6,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính
a) A=
+
-
+
+
b) B =

2. Tìm x, y, z biết
a)
b)
,
và

Câu 2: (3,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

chia hết cho 10
Câu 3: (3,0 điểm)
1. Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 .
a) Chứng minh rằng x= -1 là nghiệm của A(x)
b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x =
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho
( AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M vuông góc với tia phân giác của góc
cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm của đường thẳng đó với tia phân giác goch BAC là H). Chứng minh rằng:
EH = HF

.

.
BE = CF
Câu 5: (2,0 điểm) Giải bằng máy tính cầm tay
a) Tính giá trị của đa thức P(x) =
tại x = 2,13 (kết quả ghi dưới dạng số thập phân lấy trên màn hình).
b)Tìm 2 chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016
-------------Hết------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:......................................
Số báo danh:............................................


Chữ ký của giám thị 1:...............................
Chữ ký của giám thị 2:............................






PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015- 2016
MÔN: TOÁN 7



Câu
ý
Tóm tắt lời giải
Điểm

Câu 1
(6đ)
1a.
1,0 đ

A=
+
-
+
+

=
=
+
= 0 +
=


0,5


0,5


1b.
1,5đ
A











0,5

0,5

0,5


2.a
1,5 đ
Ta có


Vậy x = 0; -4


0,25

0,25

0,25


0,25

0,25

0,25


2.b
2,0 đ
Từ giả thiết:
(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(*)
Ta có:

Do đó:





KL:



0,5

0,5


0,5




0,5

Câu 2
(3,0đ)
a.
(1,0đ)

Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 5 ( y(3x – 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
( 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
( 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 ( 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
( 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
( 49 chia hết cho 3x – 2 ( 3x – 2 (

( 3x (
( x (

Thay x lần lượt vào (1) ta được y (

Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
0,25


0,25

0,25

0,25


b.
(2,0đ)


=

=

=

= 10( 3n -2n-1)
Vậy

10 với mọi n là số nguyên dương.

0,5
0,5