Đề thi chọn HSG lớp 7 THCS Hoằng Phụ lần 3

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Câu 1. (3 điểm) Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

a. Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
b. Tính giá trị của M(x) khi x =

c. Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không?
Câu 2. (6 điểm)
a. Tìm các số x; y; z biết rằng:

b. Tìm x:

c. Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2014x
Câu 3. (4 điểm)
a. Tìm x nguyên biết :

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =

c. Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
d. Cho đa thức
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE
b. Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng
c. Từ E kẻ

. Biết
= 50o;
=25o.
Tính
và

Câu 5. (2 điểm)
a.Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
b. Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . H chõn vuụng gúc A BC . minh tia HA qua trung DE
Câu 6. () Cho
là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh
là hợp số


Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ..............................................Số báo danh:.......................


Câu
Nội dung chính
Điểm

Câu 1

a. M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
= 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 – 2(x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3) + x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

= (2x5 -2x5) + (x4 + 4x4) + (– 4x3 +4x3) + (x2 – 2x2 +3x2) + (-2x +10x-8x) + 2- 6 +
= 5x4 + 2x2 +


0,5



0,5


b. Tính giá trị của M(x) khi x =

Thay x =
vào biểu thức M(x) ta được:
5.(
)4 + 2(
)2 +
= 0,3125 + 0,5 +
= 1
0,5


0,5


c. Ta có: M(x) = 5x4 + 2x2 +




M(x) = 0 (
= 0

( Vô lí )
Vậy không có giá trị nào của x để M(x) = 0



0,5


0,5

Câu 2

a. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :


=

( Vì x+y+z
0). Do đó x+y+z = 0,5. Thay kết quả này vào đề bài ta có:

tức là

Vậy




0,5


0,5

1




Vậy giá trị x cần tìm là : x = -2014



0,5

0,5


0,5
0,5


c. Ta có : x2+2014x = x(x+2014)

x
 - -2014 - 0 +

x+2014
 - 0 +
 +

x(x+2014)