Đề thi chọn HSG

Đề thi học sinh giỏi lớp 7- Môn: Toán.
Thời gian: 120 phút
ĐỀ SỐ 1:
Câu 1. Tìm x biết: a)
b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) < 0
Câu 2. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:
và

b) Cho
(a, b, c, d > 0)
Tính A =

Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
(với x nguyên)
Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Câu 5. Cho
ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.
a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC.
c)
ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.
d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy.
ĐỀ SỐ 2:
Câu1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức

Câu 2. (4 điểm) Chứng minh:

Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số

a. Vẽ đồ thị 2 h/số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trên vuông góc với nhau.
Bài 4: ( 2,5 điểm) Tìm x biết:a.

b.
; c.
-
= 7

Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân,
. Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho
Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tính

Câu 6. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho
và M là trung điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh: a. O là trọng tâm của ∆IKC. b.
.
ĐỀ SỐ 3:
Câu 1: ( 4 điểm). Tính:
a) A =
;
b) B =

Câu 2: ( 4 điểm)
a) Tìm các số a, b, c biết:
2a = 3b, 5b = 7c và 3a - 7b + 5c = -30
b) Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh rằng :

Câu 3: ( 4 điểm) Tìm số x thỏa mãn:
a)

b)

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ

. Biết
= 50o ;
=25o .
Tính
và

Câu 5: (2,0 điểm) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
ĐỀ SỐ 4:
Bài 1: a) So sánh hợp lý:
và

b) Tính A =

c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y =z
Bài 2: (1,5 Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6
c)
d)

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
b)
và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất