Đề thi chọn HSG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
MÔN TOÁN LỚP 7- LẦN 4
thời gian làm bài 120 phút

ĐỀ BÀI
Câu 1: (2 điểm )
Tính giá trị các biểu thức sau: A =

B =

Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng :
<1
Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x + y + xy = 4
Câu 3: (3 điểm)
a) Cho tỉ lệ thức

1. Tính tỉ số

2. Tìm x, y biết x . y = 168
b) Cho
(a, b, c, d > 0)
Tính A =

Câu 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho: ME = MA.
a) Chứng minh: AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK.
C/m: I , M , K thẳng hàng.
c) Từ E kẻ

. Biết
HBE = 50o ;
MEB =25o.
Tính
HEM và
BME
Câu 5: (0,5 điểm)
Nhân kỉ niệm 142 năm ngày sinh của Lê - nin và 112 năm ngày sinh của Bác Hồ, có một học sinh viết:

+

Hỏi chữ số tận cùng của tổng trên?




HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1: 2 điểm
A =

A =



0,5





0,5

 B =





0,5


0,5

Câu 2: 2 điểm
a. Chứng minh rằng :
<1 với
n nguyên dương
Làm giảm vế trái ta có

<

Mà

=
= 1 -

Vì n nguyên dương nên 1 -
< 1
Vậy
<1 với
n nguyên dương






0,5điểm








0,5điểm

Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x + y + xy = 4
Ta có x + y + xy = 4
x + xy + 1 + y = 5

x.( 1 + y) + 1 ( 1 + y) = 5

(x + 1). ( 1 + y) = 5
Ta có bảng chọn sau:
(x + 1)
-1
-5
1
5


1 + y)
-5
-1
5
1

x
-2
-6
0
4

y
-6
-2
4
0

Vậy các giá trị (x,y) thỏa mãn bài toán là
x
-2
-6
0
4

y
-6
-2
4
0





0,5điểm







0,5điểm

Câu 3
a.
1. Tính tỉ số
: Ta có

8.( 2x – 3y) = 6. (2x + 3y)

4.( 2x – 3y) = 3. (2x + 3y)
8.x – 12y = 6. x + 9y

2x = 21y Vậy
=

2) Tìm x; y
=


đặt k =

Suy ra x = 21k; y = 2k Vì xy = 168 nên 21k.2k = 168
Vậy k2 = 168: 42 = 4 Suy ra k = 2; -2
Với k = 2 ta có x = 42; y = 4
Với k = -2 ta có x =- 42; y =- 4



0,25điểm


0,5 điểm


0,25

0,5


0,25

b) Theo bài ra áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có
(do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0)
suy ra a = b = c= d Thay vào tính được P =



0,75

0,25

Câu 4: (3,5 điểm):
Vẽ hình ghi GT-KL 0,5 điểm
a. (1 điểm) Xét
và
có :
AM = EM (gt )
AMC=
EMB (đối đỉnh )
BM = MC (gt )


=
(c.g.c )

AC = EB
Vì
=


MAC=
MEB