Đề thi chọn HSG

TRƯỜNG THCS
GIAO TÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2017 – 2018
Môn Toán 7
( Thời gian : 120 phút)

Bài 1 : (4 điểm)
Rút gọn A =

-
-
-
- …… -
-

2,Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:


Bài 2 : ( 5 điểm )
1.Tìm các số x, y, z biết:
.
2.Ba phân số có tổng bằng
, các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5 , các mẫu số của chúng tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
Bài 3: ( 1 điểm)
Chứng minh rằng :
chia hết cho 31
Bài 4 : ( 3 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Bài 5 : ( 4 điểm) :
Cho
ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuông góc với BC, từ O kẻ OH vuông góc với AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
Chứng minh
FCH cân ;
Chứng minh AK = KI ;
Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng.
Bài 6 ( 3 điểm ): Cho
ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho DB = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N. Chứng minh
DM = EN
Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN
Đường trung trực của MN luân đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.















TRƯỜNG THCS GIAO TÂN

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
( Thời gian làm bài: 120 phút)





Bài
Câu
Nội dung
Điểm

1
(4đ)
1.1
(2 đ)
A =

A =


0,25



A =


0,25



A =


0,25



A =


0,25



A =


0,25



A =


0,25



A =


0,25



A =

0,25


1.2
(2 đ)

(1)




 Đặt

Suy ra



0,25



2B – B =







0,25



Đặt

Suy ra



0,25



2C – C =
-

C =

0,25



 Khi đó :





0,25



Vậy từ (1) ta có :





0,25



Do đó
(Vì
với mọi n)
0,25




. Vậy

0,25

2
(5đ)
2.1
3,0đ
Tìm các số x, y, z biết:
(2)




 Xét x = 0
(vô lí)
Suy ra

0,25



Khi đó từ (2) suy ra


0,25



Suy ra

0,25





và

0,50



Đặt
thì

0,25



Suy ra x = 2k ; y = 4k ; z = 6k và
(3)
0,50



Thay x = 2k ; y = 4k ; z = 6k vào (3) ta được :


56k2 – 28k = 0
56k.(2k-1) = 0
0,50




k = 0 (loại)
Hoặc
( thỏa mãn)
0,25



+ Với
thì tìm được x =1 ; y = 2; z = 3
Kết luận: Vậy x =1 ; y = 2; z = 3
0,25


2.2
2 đ
Gọi ba phân số cần tìm là